Encontre o valor de para que a função dada seja contínua em :
Resposta: square
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis $ f(x, y) $ que é definida de duas maneiras diferentes:
f(x, y)
Queremos encontrar o valor de $ a > 0 $ que faz com que essa função seja contínua no ponto $ (0,0) $. Para isso, precisamos entender o que significa continuidade em um ponto para funções de duas variáveis.
Passo 2
Teoria: Uma função $ f(x, y) $ é contínua em um ponto $ (x_0, y_0) $ se o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (x_0, y_0) $ for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
f(x, y)
Aplicando isso ao nosso caso, queremos que:
(x0, y0)
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $.
f(x, y)
Para simplificar, vamos fazer uma substituição:
Seja $ u = \sqrt{x} $ e $ v = \sqrt{y} $. Então, $ x = u^{2} $ e $ y = v^{2} $.