Encontre o valor de a>0 para que a função dada seja contínua em (0,0) :
f(x, y)=ll x-y+2 raizx-2 raizyraizx-raizy & se (x, y) neq(0,0) 7 a^2+6 a+1 & se (x, y)=(0,0)
Resposta: square

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis $ f(x, y) $ que é definida de duas maneiras diferentes:
f(x, y)
Queremos encontrar o valor de $ a > 0 $ que faz com que essa função seja contínua no ponto $ (0,0) $. Para isso, precisamos entender o que significa continuidade em um ponto para funções de duas variáveis.

Passo 2

Teoria: Uma função $ f(x, y) $ é contínua em um ponto $ (x_0, y_0) $ se o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (x_0, y_0) $ for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
f(x, y)
Aplicando isso ao nosso caso, queremos que:
(x0, y0)

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $.
f(x, y)
Para simplificar, vamos fazer uma substituição:
Seja $ u = \sqrt{x} $ e $ v = \sqrt{y} $. Então, $ x = u^{2} $ e $ y = v^{2} $.
Substituindo na função:
(x, y)

Passo 4

Simplificando o numerador:
u^2 - v^2 + 2u - 2v = (u^2 - v^2) + 2(u - v) = (u - v)(u + v) + 2(u - v) = (u - v)(u + v + 2)
Então, a função fica:
f(x, y) = (u - v)(u + v + 2)u - v

Passo 5

Podemos cancelar o termo $ (u - v) $ no numerador e denominador (desde que $ u \neq v $):
(u - v)
Agora, calculamos o limite quando $ u $ e $ v $ tendem a 0:
u neq v
Portanto, o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) \to (0,0) $ é 2.

Passo 6

Agora, igualamos o limite ao valor da função no ponto $ (0,0) $ para garantir a continuidade:
(0,0)
Vamos resolver essa equação para $ a $:
2 = 7a^2 + 6a + 1

Passo 7

Resolvemos a equação quadrática $ 7a^{2} + 6a - 1 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
7a^2 + 6a - 1 = 0
Onde $ a = 7 $, $ b = 6 $ e $ c = -1 $:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
As soluções são:
a = 7
b = 6
Como queremos $ a > 0 $, a solução válida é $ a = \frac{1}{7} $.

Resposta

boxeddfrac17

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