Questão 15. Resolva a seguinte equação
y^prime prime cos (x)=tan (x) y^2

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial de segunda ordem não linear

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se existem soluções constantes do tipo y(x)=k. Nesse caso, y'(x)=0 e y''(x)=0. Substituindo em 0=tan(x),k^2 obtemos
x
Para que isso se mantenha para todo k^2=0, precisamos de k=0, ou seja, y(x)=0. Logo, é solução constante.

Passo 3

Em seguida, tentamos buscar soluções não constantes. A equação original é
y''(x)cos(x)=tan(x),y(x)^2
Como ela é não linear e envolve y'' misturado com função de x, os métodos padrão (separação de variáveis, redução de ordem via p=y', fator integrante, etc.) não levam a uma integração elementar.

Passo 4

Ao examinar a estrutura, percebemos que qualquer tentativa de reduzir a ordem (por exemplo, escrevendo y''=p,dp/dy) deixa um termo em função de x não separável de y. Não existe, portanto, uma primitiva explícita em funções elementares.

Passo 5

Concluímos que a única solução global contínua obtida de maneira elementar é a trivial obtida acima, ou seja,

Passo 6

Resposta

y(x)\equiv 0

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