Questão 11. Use integração por partes para resolver as integrais:
integral arcsin (x-2) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral arcsin(x-2),dx
O método sugerido é integração por partes, onde usaremos a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e precisaremos da derivada de arcsin.

Passo 2

Escolhemos
u = arcsin(x-2), dv = dx
Então
du = 1raiz1-(x-2)^2,dx, v = x

Passo 3

Aplicando integração por partes:
integral arcsin(x-2),dx = x,arcsin(x-2) - integral x ,1raiz1-(x-2)^2,dx

Passo 4

Para calcular
integral x,1raiz1-(x-2)^2,dx, faça a substituição
t = x-2, dt = dx, x = t+2
Isso dá
integral x,1raiz1-(x-2)^2,dx = integral t+2raiz1-t^2,dt = integral traiz1-t^2,dt + 2integral 1raiz1-t^2,dt

Passo 5

Calcule cada parte:
  1. integral traiz1-t^2,dt.
    Substitua w=1-t^2, dw=-2t,dt, obtém-se integral traiz1-t^2,dt = -raiz1-t^2
  2. 2integral 1raiz1-t^2,dt = 2,arcsin(t)
Portanto
integral x,1raiz1-(x-2)^2,dx = -raiz1-(x-2)^2 + 2,arcsin(x-2)

Passo 6

Substituindo de volta em
integral arcsin(x-2),dx:
integral arcsin(x-2),dx = x,arcsin(x-2) - l(-raiz1-(x-2)^2 + 2,arcsin(x-2)r) + C
Simplificando os termos com arcsin(x-2):
x,arcsin(x-2) - 2,arcsin(x-2) = (x-2),arcsin(x-2)

Resposta

(x-2),arcsin(x-2)+raiz1-(x-2)^2+C

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