Ache as equações da reta tangente à curva de intersecção da superfície x^2+y^2+z^2=9 com o plano y=2, no ponto (1,2,2).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva C obtida pela interseção da esfera
x^2+y^2+z^2=9
com o plano
y=2
no ponto P=(1,2,2).
O conteúdo aqui é usar vetores normais às superfícies para achar o vetor tangente à curva (pois esse vetor é ortogonal a ambos os normais) e, a partir dele, montar a equação da reta.

Passo 2

Vamos calcular os vetores normais em P.
Para a esfera F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9=0, temos
nabla F(P) = (2x,,2y,,2z)|(1,2,2) = (2,,4,,4)
Para o plano G(x,y,z)=y-2=0, vem
nabla G = (0,,1,,0)

Passo 3

O vetor tangente v à curva C em P é perpendicular a nabla F(P) e a nabla G, logo
v ;=;nabla F(P)timesnabla G ;=;(2,4,4)times(0,1,0) ;=;(-4,,0,,2)
Podemos simplificar, dividindo por -2, e usar
v = (-2,,0,,1)

Passo 4

Agora, a equação paramétrica da reta tangente em P com direção v é
x = 1 - 2t, y = 2, z = 2 + t,
e, em forma simétrica,
x-1-2 ;=;y-20;=;z-21

Resposta

Equação paramétrica:
x = 1 - 2t, y = 2, z = 2 + t
Equação simétrica:
x-1-2 ;=;y-20;=;z-21

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