Ache as equações da reta tangente à curva de intersecção da superfície com o plano , no ponto .
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à curva obtida pela interseção da esfera
com o plano
no ponto .
O conteúdo aqui é usar vetores normais às superfícies para achar o vetor tangente à curva (pois esse vetor é ortogonal a ambos os normais) e, a partir dele, montar a equação da reta.
Passo 2
Vamos calcular os vetores normais em .
Para a esfera , temos
Para o plano G(x,y,z)=y-2=0, vem
nabla G = (0,,1,,0)
Passo 3
O vetor tangente v à curva C em P é perpendicular a nabla F(P) e a nabla G, logo
v ;=;nabla F(P)timesnabla G ;=;(2,4,4)times(0,1,0) ;=;(-4,,0,,2)
Podemos simplificar, dividindo por -2, e usar
v = (-2,,0,,1)
Passo 4
Agora, a equação paramétrica da reta tangente em P com direção v é