Questão 11: Se A x=b tem solução e b in C(A) ou C(A) ? Justifique.
Solução: Nas condições apresentadas no enunciado, y^T b=0 e . é complemento ortogonal de , ou seja, seus elementos são perpendiculares. Assim, temos que .

Passo 1

O enunciado diz que a equação A x = b tem solução e que A^T y = 0. A pergunta é: qual produto escalar fica nulo, y^T x ou y^T b? O conteúdo aqui é o dos subespaços fundamentais de uma matriz: espaço coluna C(A) e núcleo à esquerda N(A^T).

Passo 2

Da igualdade A^T y = 0 concluímos que y in N(A^T). Por definição, N(A^T) é o conjunto de vetores ortogonais a todas as colunas de A.
Como A x = b tem solução, podemos escrever b = A x. Isso significa que b é combinação linear das colunas de A, ou seja, b in C(A).

Passo 3

Um resultado fundamental de Álgebra Linear afirma que C(A) e N(A^T) são complementos ortogonais. Isso quer dizer que qualquer y in N(A^T) é ortogonal a qualquer b in C(A).
Da ortogonalidade entre b e y vem que o produto escalar y^T b é zero. Não há, em geral, relação de ortogonalidade entre y e x.

Resposta

y^T b = 0

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