Questão 11: Se
tem solução e
ou
? Justifique.
Solução: Nas condições apresentadas no enunciado,
e
.
é complemento ortogonal de
, ou seja, seus elementos são perpendiculares. Assim, temos que
.
Passo 1
O enunciado diz que a equação
tem solução e que
. A pergunta é: qual produto escalar fica nulo,
ou
? O conteúdo aqui é o dos subespaços fundamentais de uma matriz: espaço coluna
e núcleo à esquerda
.
Passo 2
Da igualdade
concluímos que
. Por definição,
é o conjunto de vetores ortogonais a todas as colunas de
.
Como tem solução, podemos escrever
. Isso significa que
é combinação linear das colunas de
, ou seja,
.
Como
Passo 3
Um resultado fundamental de Álgebra Linear afirma que
e
são complementos ortogonais. Isso quer dizer que qualquer
é ortogonal a qualquer
.
Da ortogonalidade entre e
vem que o produto escalar
é zero. Não há, em geral, relação de ortogonalidade entre
e
.
Da ortogonalidade entre