Verifique se as transformações abaixo são lineares:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linearmente de ℝ³ em ℝ⁵ dada por T(x₁,x₂,x₃)=(x₁, x₂, x₃−x₁, 2x₁+x₂, x₃) realmente satisfaz as propriedades de linearidade. O conteúdo aqui é Transformações Lineares, e vamos precisar usar a definição que exige preservação da soma de vetores e da multiplicação por escalar.
Passo 2
Uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u=(u₁,u₂,u₃), v=(v₁,v₂,v₃) em ℝ³, tivermos T(u+v)=T(u)+T(v). Calculemos T(u+v):
T(u+v)=T(u₁+v₁, u₂+v₂, u₃+v₃)
=(u₁+v₁,
u₂+v₂,
(u₃+v₃)−(u₁+v₁),
2(u₁+v₁)+(u₂+v₂),
u₃+v₃)
u₂+v₂,
(u₃+v₃)−(u₁+v₁),
2(u₁+v₁)+(u₂+v₂),
u₃+v₃)
=(u₁+v₁,
u₂+v₂,
(u₃−u₁)+(v₃−v₁),
(2u₁+u₂)+(2v₁+v₂),
u₃+v₃).
u₂+v₂,
(u₃−u₁)+(v₃−v₁),
(2u₁+u₂)+(2v₁+v₂),
u₃+v₃).
Agora some T(u)+T(v):
T(u)=(u₁, u₂, u₃−u₁, 2u₁+u₂, u₃)
T(v)=(v₁, v₂, v₃−v₁, 2v₁+v₂, v₃)
T(u)+T(v)=(u₁+v₁,
u₂+v₂,
(u₃−u₁)+(v₃−v₁),
(2u₁+u₂)+(2v₁+v₂),
u₃+v₃).
u₂+v₂,
(u₃−u₁)+(v₃−v₁),
(2u₁+u₂)+(2v₁+v₂),
u₃+v₃).
Como T(u+v)=T(u)+T(v), a soma é preservada.
Passo 3
Também precisamos verificar a homogeneidade: para qualquer escalar α∈ℝ e vetor u=(u₁,u₂,u₃), deve valer T(αu)=αT(u). Calcule:
T(αu)=T(αu₁, αu₂, αu₃)
=(αu₁,
αu₂,
αu₃−αu₁,
2αu₁+αu₂,
αu₃)
αu₂,
αu₃−αu₁,
2αu₁+αu₂,
αu₃)
=(αu₁,
αu₂,
α(u₃−u₁),
α(2u₁+u₂),
αu₃)
αu₂,
α(u₃−u₁),
α(2u₁+u₂),
αu₃)
=α·(u₁, u₂, u₃−u₁, 2u₁+u₂, u₃)
=αT(u).
Portanto, a homogeneidade também vale.
Passo 4
Como T preserva soma e multiplicação por escalar, concluímos que é de fato uma transformação linear.
Resposta
Sim, a transformação T é linear.