Verifique se as transformações abaixo são lineares:

Passo 1

Temos a transformação T: R^3toR^3 dada por T(x1,x2,x3)=(3x1-5x2,;x1+x2,;12x3-x1). O objetivo é verificar se ela é linear, ou seja, se satisfaz as propriedades de homogeneidade e de aditividade.

Passo 2

Uma transformação T é linear se, para todo vetor u,vinR^3 e todo escalar alpha, valem
T(u+v)=T(u)+T(v),
T(alpha u)=alpha,T(u)

Passo 3

Primeiro, vamos ver se T leva o vetor nulo em R^3 no vetor nulo. Calculando
T(0,0,0)=(3cdot0-5cdot0,;0+0,;12cdot0-0)=(0,0,0)
Isso mostra que T(0)=0, condição necessária em toda transformação linear.

Passo 4

Agora, verificamos a homogeneidade. Seja alpha um escalar e x=(x1,x2,x3). Temos
T(alpha x)=T(alpha x1,alpha x2,alpha x3)=(3alpha x1-5alpha x2,;alpha x1+alpha x2,;12alpha x3-alpha x1)
e isso é igual a
(alpha(3x1-5x2),;alpha(x1+x2),;alpha(12x3-x1))=alpha,(3x1-5x2,;x1+x2,;12x3-x1)=alpha,T(x)

Passo 5

Por fim, conferimos a aditividade. Dados x=(x1,x2,x3) e y=(y1,y2,y3),
T(x+y)=T(x1+y1,,x2+y2,,x3+y3)=(3(x1+y1)-5(x2+y2),;(x1+y1)+(x2+y2),;12(x3+y3)-(x1+y1))
que se expande para
(3x1-5x2,;x1+x2,;12x3-x1)+(3y1-5y2,;y1+y2,;12y3-y1)=T(x)+T(y)

Passo 6

Como T satisfaz T(0)=0, a homogeneidade e a aditividade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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