Verifique se as transformações abaixo são lineares:
Passo 1
Temos a transformação
dada por
. O objetivo é verificar se ela é linear, ou seja, se satisfaz as propriedades de homogeneidade e de aditividade.
Passo 2
Uma transformação
é linear se, para todo vetor
e todo escalar
, valem
Passo 3
Primeiro, vamos ver se
leva o vetor nulo em
no vetor nulo. Calculando
Isso mostra que
, condição necessária em toda transformação linear.
Passo 4
Agora, verificamos a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Temos
e isso é igual a
Passo 5
Por fim, conferimos a aditividade. Dados
e
,
que se expande para
Passo 6
Como
satisfaz
, a homogeneidade e a aditividade, concluímos que
é uma transformação linear.
Resposta
T é linear.