Verifique se as transformações abaixo são lineares:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação Tcolon M(ntimes n, R)to M(ntimes n, R), definida por T(A)=A^2, é linear. Vamos usar o conceito de transformação linear, que exige duas propriedades: additividade e homogeneidade.

Passo 2

Para testar a propriedade de additividade, computamos
T(A+B)=(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2
Para ser linear, precisaríamos de
T(A+B)=T(A)+T(B)=A^2+B^2
Porém aparecem os termos extras AB+BA, que em geral não são zero. Logo a additividade falha.

Passo 3

Para testar a homogeneidade, pegamos um escalar cin R e calculamos
T(cA)=(cA)^2=c^2A^2,
entretanto a propriedade linear exigiria
T(cA)=c,T(A)=cA^2
Como c^2A^2neq cA^2 para todo c (exceto c=0 ou c=1), a homogeneidade também falha.

Resposta

A aplicação T(A)=A^2 não é linear.

Exercícios relacionados