Questão 4.
12.54 Uma fonte trifásica conectada em estrela equilibrada com V_{p}=210 \mathrm{~V} RMS alimenta uma carga trifásica conectada em estrela com impedância por fase \mathbf{Z}_{A}=80 \Omega, \mathbf{Z}_{B}= 60+j 90 \Omega e \mathbf{Z}_{C}=j 80 \Omega. Calcule as correntes de linha e a potência complexa total liberada para a carga. Suponha que os neutros estejam interligados.

Passo 1

O enunciado nos dá (peguei estes dados do enunciado):
  • Fonte trifásica conectada em estrela, equilibrada, com tensão de fase (tensão fase-neutro) V_{p}=210\\ \mathrm{V} RMS.
  • Carga trifásica conectada em estrela com impedâncias por fase:
    • \mathbf{Z}_{A}=80\\ \Omega
    • \mathbf{Z}_{B}=60+j\,90\\ \Omega
    • \mathbf{Z}_{C}=j\,80\\ \Omega
  • Os neutros estão interligados (logo cada fase da carga vê a tensão de fase da fonte).
O que a questão pede:
  1. Calcular as correntes de linha (que, em ligação estrela, são as correntes de fase da carga).
  2. Calcular a potência complexa total liberada para a carga (ou seja, S_{\text{total}} = P_{\text{total}} + jQ_{\text{total}}).

Passo 2

Definimos um referencial de fases (convencional e simples): tomar a tensão de fase A como referência com ângulo zero. Assim:
V_A = 210\angle 0^\circ\\ \text{V},\qquad V_B = 210\angle -120^\circ\\ \text{V},\qquad V_C = 210\angle +120^\circ\\ \text{V}.
Explicação didática rápida: em uma fonte trifásica equilibrada em estrela, as tensões de fase têm mesma magnitude e defasagens de 120^\circ entre si; tomar V_A como referência facilita os cálculos (é só escolher um ângulo zero arbitrário).

Passo 3

Fórmula para corrente de cada fase em conexão estrela:
I_{\text{fase}}=\frac{V_{\text{fase}}}{Z_{\text{fase}}}.
Aqui V_{\text{fase}} é a tensão fase-neutro aplicada àquela impedância e Z_{\text{fase}} é a impedância complexa da fase. Em estrela as correntes de linha são iguais às correntes de fase, então I_{\ell A}=I_A,\\ I_{\ell B}=I_B,\\ I_{\ell C}=I_C.
Vou calcular cada corrente fase a fase.

Passo 4

Cálculo de I_A:
I_A=\frac{V_A}{Z_A}=\frac{210\angle 0^\circ}{80}= \frac{210}{80}\angle 0^\circ=2{,}625\angle 0^\circ\\ \text{A}.
Interpretação: como \mathbf{Z}_A é puramente resistiva, a corrente está em fase com a tensão.

Passo 5

Cálculo de I_B. Primeiro obtenho módulo e ângulo da impedância \mathbf{Z}_B:
|Z_B|=\sqrt{60^2+90^2}=\sqrt{11700}=108{,}166538\\ \Omega, \qquad \angle Z_B=\arctan\!\left(\frac{90}{60}\right)=56{,}3099^\circ.
Agora a corrente:
|I_B|=\frac{210}{|Z_B|}=\frac{210}{108{,}166538}=1{,}941176\\ \text{A},
e o ângulo de I_B é o ângulo de V_B menos o ângulo de Z_B:
\angle I_B = -120^\circ - 56{,}3099^\circ = -176{,}3099^\circ.
Portanto, em forma fasorial:
I_B = 1{,}941176\angle -176{,}3099^\circ\\ \text{A}.
Comentário didático: em números, isto significa que a corrente da fase B tem praticamente mesma magnitude de 1{,}94 A e está quase em oposição de fase (cerca de -176^\circ) ao referencial de V_A. Não é preciso memorizar truques — basta lembrar: divisão em polar -> divide-se módulos e subtraem-se ângulos.

Passo 6

Cálculo de I_C. A impedância é \mathbf{Z}_C=j80=80\angle 90^\circ. Então
|I_C|=\frac{210}{80}=2{,}625\\ \text{A},
e o ângulo:
\angle I_C = +120^\circ - 90^\circ = +30^\circ.
Logo
I_C = 2{,}625\angle 30^\circ\\ \text{A}.
Interpretação: como \mathbf{Z}_C é indutivo puro ( +j), a corrente de C atrasa 90^\circ em relação à tensão da fase C; comparando com o referencial A deu +30^\circ.

Passo 7

Resumo das correntes de linha (já calculadas):
I_A = 2{,}625\angle 0^\circ\\ \text{A},\qquad I_B = 1{,}941176\angle -176{,}3099^\circ\\ \text{A},\qquad I_C = 2{,}625\angle 30^\circ\\ \text{A}.
Observação pedagógica: as correntes têm magnitudes diferentes porque a carga é desequilibrada; por isso existe corrente no neutro (os neutros interligados permitem essa corrente de retorno).

Passo 8

Agora calculamos a potência complexa por fase e somamos para obter a potência total. Fórmula usada:
S_{\text{fase}}=V_{\text{fase}}\;I_{\text{fase}}^* = \frac{|V_{\text{fase}}|^2}{Z_{\text{fase}}^*}.
Explico: S=P+jQ onde P é potência ativa (W) e Q é potência reativa (var). Usar S=V I^* é muito prático porque dá direto os termos reais e imaginários.

Passo 9

Potências por fase:
Para a fase A ( Z_A=80 real):
S_A = V_A I_A^* = 210\angle 0^\circ \cdot 2{,}625\angle 0^\circ = 551{,}25 + j0\\ \text{VA}.
Para a fase B (usar \;S_B=\dfrac{|V|^2}{Z_B^*}\;):
S_B=\frac{44100}{60 - j90} = \frac{44100(60 + j90)}{60^2+90^2} = \frac{44100}{11700}(60 + j90).
Como \dfrac{44100}{11700}=\dfrac{49}{13}=3{,}769230769, segue
S_B = 3{,}769230769\,(60 + j90)=226{,}153846 + j339{,}230769\\ \text{VA}.
Para a fase C ( Z_C=j80):
S_C=\frac{44100}{-j80}=j\frac{44100}{80}=j551{,}25\\ \text{VA}.

Passo 10

Somando as potências por fase para obter a potência total entregue à carga:
S_{\text{total}}=S_A+S_B+S_C =(551{,}25 + 226{,}153846) + j(0 + 339{,}230769 + 551{,}25)
S_{\text{total}}=777{,}403846 + j\,890{,}480769\\ \text{VA}.
Podemos dar também a forma magnitude-ângulo (útil para ver fator de potência):
|S_{\text{total}}| \approx 1181{,}3\\ \text{VA},\qquad \angle S_{\text{total}} \approx 49{,}0^\circ,
o que corresponde a P_{\text{total}} \approx 777{,}40\\ \text{W} e Q_{\text{total}} \approx 890{,}48\\ \text{var} (reativo indutivo).

Resposta

I_A = 2{,}625\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}
I_B = 1{,}941176\angle -176{,}3099^\circ\\ \mathrm{A}
I_C = 2{,}625\angle 30^\circ\\ \mathrm{A}
S_{\text{total}} = 777{,}403846 + j\,890{,}480769\\ \mathrm{VA} (ou \approx 1181{,}3\angle 49{,}0^\circ\\ \mathrm{VA})

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