Considere a equação diferencial linear nāo homogênea:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=e^{3 t}
a) ( 0,8 pt) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
b) (1,2 pt) Utilizando estritamente o método da Variação dos Parâmetros, encontre uma solução pàrticular para a equação nāo homogênea.
c) (0,5 pt) Escreva a solução geral da equação diferencial.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear não homogênea
y''-y'-2y=e^{3t}.
As perguntas são:
  • (a) Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
  • (b) Usando estritamente o método da Variação dos Parâmetros, encontrar uma solução particular da equação não homogênea.
  • (c) Escrever a solução geral da equação diferencial completa.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo não homogêneo (lado direito) é \,e^{3t}.
  • A equação está na forma padrão de segunda ordem com coeficientes constantes: \,y''+p(t)y'+q(t)y=f(t), aqui com p(t)=-1, q(t)=-2 e f(t)=e^{3t}.
  • Para aplicar Variação dos Parâmetros é preciso primeiro conhecer duas soluções fundamentais linearmente independentes da equação homogênea associada.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''-y'-2y=0.
Passo a passo: assumimos solução da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-r-2=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm3}{2},
logo os raízes são r_{1}=2 e r_{2}=-1. Com duas raízes reais distintas, as soluções fundamentais são
y_{1}(t)=e^{2t},\qquad y_{2}(t)=e^{-t}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Explicar e deduzir a fórmula da Variação dos Parâmetros (aula rápida):
Ideia: procurar uma solução particular da forma
y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t),
onde u_{1}\) e \(u_{2}\) são funções a determinar (em vez de constantes). Para reduzir ordem impõe-se a condição auxiliar \[u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0.
Calculando derivadas:
y_{p}'=u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}',
e, usando a condição auxiliar, isto reduz para
y_{p}'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.
Derivando novamente:
y_{p}''=u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''.
Substituindo y_{p},y_{p}'' na equação diferencial y''+p(t)y'+q(t)y=f(t) (aqui p=-1, q=-2) e usando que y_{1} e y_{2} satisfazem a homogênea, sobra o sistema linear para u_{1}' e u_{2}':
\begin{cases} u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0,\\[4pt] u_{1}'(t)y_{1}'(t)+u_{2}'(t)y_{2}'(t)=f(t). \end{cases}
Esse sistema pode ser resolvido por determinantes (regra de Cramer). Definindo o Wronskiano
W(t)=\begin{vmatrix}y_{1}(t) & y_{2}(t)\\[4pt] y_{1}'(t) & y_{2}'(t)\end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2},
as soluções são
u_{1}'(t)=-\frac{f(t)\,y_{2}(t)}{W(t)},\qquad u_{2}'(t)=\frac{f(t)\,y_{1}(t)}{W(t)}.
Integrando essas derivadas obtém-se u_{1}(t)\] e \(u_{2}(t) (podendo desprezar constantes de integração ao construir uma solução particular). Finalmente
y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t).]

Passo 4

Aplicar Variação dos Parâmetros ao caso concreto.
Temos y_{1}(t)=e^{2t} e y_{2}(t)=e^{-t}. Calcular as derivadas:
y_{1}'(t)=2e^{2t},\qquad y_{2}'(t)=-e^{-t}.
Calcular o Wronskiano:
W(t)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=e^{2t}(-e^{-t})-(2e^{2t})(e^{-t})=e^{2t}e^{-t}(-1-2)=-3e^{t}.
O termo não homogêneo é f(t)=e^{3t}. Então as fórmulas para u_{1}' e u_{2}' dão
u_{1}'(t)=-\frac{f(t)\,y_{2}(t)}{W(t)}=-\frac{e^{3t}\cdot e^{-t}}{-3e^{t}},
u_{2}'(t)=\frac{f(t)\,y_{1}(t)}{W(t)}=\frac{e^{3t}\cdot e^{2t}}{-3e^{t}}.
Simplificando cada expressão:
Calcule passo a passo u_{1}':
e^{3t}\cdot e^{-t}=e^{2t},\qquad \frac{e^{2t}}{-3e^{t}}=-\frac{1}{3}e^{t},
portanto, com o sinal da fórmula,
u_{1}'(t)=-\left(-\frac{1}{3}e^{t}\right)=\frac{1}{3}e^{t}.
Agora u_{2}':
e^{3t}\cdot e^{2t}=e^{5t},\qquad \frac{e^{5t}}{-3e^{t}}=-\frac{1}{3}e^{4t},
portanto
u_{2}'(t)=-\frac{1}{3}e^{4t}.
Integrar para obter u_{1} e u_{2} (desprezando constantes de integração, pois queremos uma particular):
u_{1}(t)=\int \frac{1}{3}e^{t}\,dt=\frac{1}{3}e^{t},
u_{2}(t)=\int -\frac{1}{3}e^{4t}\,dt=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}e^{4t}=-\frac{1}{12}e^{4t}.
Construir y_{p}:
y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t) =\left(\frac{1}{3}e^{t}\right)e^{2t}+\left(-\frac{1}{12}e^{4t}\right)e^{-t}.
Simplificar cada termo:
\left(\frac{1}{3}e^{t}\right)e^{2t}=\frac{1}{3}e^{3t},\qquad \left(-\frac{1}{12}e^{4t}\right)e^{-t}=-\frac{1}{12}e^{3t}.
Somando:
y_{p}(t)=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{12}\right)e^{3t}=\frac{1}{4}e^{3t}.
Breve verificação (rápida checagem): se y_{p}=\dfrac{1}{4}e^{3t} então
y_{p}'=\frac{3}{4}e^{3t},\qquad y_{p}''=\frac{9}{4}e^{3t},
e
y_{p}''-y_{p}'-2y_{p}=\left(\frac{9}{4}-\frac{3}{4}-\frac{2}{4}\right)e^{3t}=\frac{4}{4}e^{3t}=e^{3t},
portanto atende a equação não homogênea como esperado.

Passo 5

Escrever a solução geral da equação diferencial completa: somando homogênea e particular temos
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t}+\frac{1}{4}e^{3t},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias. Boa! Você aplicou Variação dos Parâmetros corretamente — é um método prático quando o termo não homogêneo não combina bem com coeficientes da equação ou quando o professor exige esse método. Força que já era! 😃

Resposta

(a) y_{h}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t}.
(b) y_{p}(t)=\dfrac{1}{4}e^{3t}.
(c) y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t}+\dfrac{1}{4}e^{3t}.

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