Considere a equação diferencial linear nāo homogênea:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=e^{3 t}
a) ( 0,8 pt) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
b) (1,2 pt) Utilizando estritamente o método da Variação dos Parâmetros, encontre uma solução pàrticular para a equação nāo homogênea.
c) (0,5 pt) Escreva a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear não homogênea
y''-y'-2y=e^{3t}.
As perguntas são:
(a) Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
(b) Usando estritamente o método da Variação dos Parâmetros, encontrar uma solução particular da equação não homogênea.
(c) Escrever a solução geral da equação diferencial completa.
Informações relevantes fornecidas:
O termo não homogêneo (lado direito) é \,e^{3t}.
A equação está na forma padrão de segunda ordem com coeficientes constantes: \,y''+p(t)y'+q(t)y=f(t), aqui com p(t)=-1, q(t)=-2 e f(t)=e^{3t}.
Para aplicar Variação dos Parâmetros é preciso primeiro conhecer duas soluções fundamentais linearmente independentes da equação homogênea associada.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
y''-y'-2y=0.
Passo a passo: assumimos solução da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-r-2=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm3}{2},
logo os raízes são r_{1}=2 e r_{2}=-1. Com duas raízes reais distintas, as soluções fundamentais são
y_{1}(t)=e^{2t},\qquad y_{2}(t)=e^{-t}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Explicar e deduzir a fórmula da Variação dos Parâmetros (aula rápida):
Ideia: procurar uma solução particular da forma
y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t),
onde u_{1}\) e \(u_{2}\) são funções a determinar (em vez de constantes). Para reduzir ordem impõe-se a condição auxiliar
\[u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0.
Substituindo y_{p},y_{p}'' na equação diferencial y''+p(t)y'+q(t)y=f(t) (aqui p=-1, q=-2) e usando que y_{1} e y_{2} satisfazem a homogênea, sobra o sistema linear para u_{1}' e u_{2}':
Integrando essas derivadas obtém-se u_{1}(t)\] e \(u_{2}(t) (podendo desprezar constantes de integração ao construir uma solução particular). Finalmente
y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t).]
Passo 4
Aplicar Variação dos Parâmetros ao caso concreto.
Temos y_{1}(t)=e^{2t} e y_{2}(t)=e^{-t}. Calcular as derivadas:
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias. Boa! Você aplicou Variação dos Parâmetros corretamente — é um método prático quando o termo não homogêneo não combina bem com coeficientes da equação ou quando o professor exige esse método. Força que já era! 😃