Questão 12) [Adaptado de Beer et al., 2011]
A barra AB é feita de um aço cuja tensão normal resistente é de
. Os pinos em A, B e D são feitos de um aço cuja tensão de cisalamento resistente é de
. Sabe-se que os pinos em A e em B estão submetidos a cisalhamento simples, enquanto o pino em D está submetido a cisalhamento duplo. Além disso, a barra AB será confeccionada com seção retangular de espessura de
. Considerando a máxima tensão normal na barra AB e o cisalhamento nos pinos, determine o diâmetro dos pinos
e D e a altura da seção da barra
e
, de forma que se verifique a segurança para
.
Nota: Considere que pinos de aço são encontrados com diâmetros comerciais de
;
e
. A chapa com espessura de 19 mm que será cortada para fabricação da barra AB pode ser cortada com dimensões múltiplas de 10 mm .
A barra AB é feita de um aço cuja tensão normal resistente é de
Nota: Considere que pinos de aço são encontrados com diâmetros comerciais de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (dados retirados do enunciado e da figura).
Dados fornecidos:
- Tensão normal resistente do aço da barra AB:
. - Tensão de cisalhamento resistente dos pinos:
. - Fator de segurança:
. - Os pinos em A e B trabalham em cisalhamento simples; o pino em D trabalha em cisalhamento duplo.
- Espessura (largura) da seção retangular da barra AB (dimensão no plano perpendicular à altura):
. - Diâmetros comerciais disponíveis para pinos:
. - A chapa que será cortada permite escolher a altura da seção em múltiplos de
.
O que o enunciado pede:
- Determinar os diâmetros dos pinos em A, B e D:
. - Determinar a altura da seção retangular da barra AB:
. - Garantir que todas as peças satisfaçam a condição de segurança com
.
Dados geométricos e cargas (retirados da figura):
- Carga distribuída sobre a barra horizontal
: ao longo de . - Carga concentrada vertical para baixo em
: . - Distâncias ao longo da barra
: , , . - Ângulo da barra AB com a horizontal:
.
Observação: a barra AB é um elemento ligado por pinos em A e B (dois terminais); portanto trataremo-la como membro de duas forças (aplica-se somente força axial no membro AB). A reação vertical no pino
é o valor que comunica a força axial na barra AB (componente vertical); a barra transmite essa força para o pino em A (veremos isso nas contas).
Passo 2
Cálculo das reações verticais nos apoios da barra horizontal
(apoios em
e
).
Primeiro, total da carga distribuída sobre
. O comprimento de
é
A resultante da carga distribuída tem intensidade
Soma das cargas verticais para baixo:
Equilíbrio de momentos em torno de
para encontrar a reação em
(tomando momentos positivos no sentido anti-horário):
- O resultado da carga distribuída
age no centro do segmento , a de , produz momento . - A carga concentrada de
em está a de , produz momento . - A reação vertical em
( ) está a de (pois ).
Equação de momento em
:
Calculemos:
A reação em
obtém-se pela soma vertical das forças:
Resumo das reações verticais:
Passo 3
Força axial na barra
(membro de duas forças) — relação com a reação em
.
Explicação rápida (do conceito): um membro que está ligado só por pinos nas extremidades e não tem cargas distribuídas internas é um “membro de duas forças”: a única solicitação interna é uma força axial aplicada nas extremidades, de mesma intensidade e linha de ação. No nó em
o equilíbrio vertical exige que a componente vertical da força axial no membro
compense a reação
. Assim a intensidade da força axial
no membro AB satisfaz
Logo
Substituindo
e
,
Em unidades do SI:
Portanto a barra
está solicitada por uma força axial de aproximadamente
.
Passo 4
Dimensionamento da seção da barra AB para tensão normal admissível.
Primeiro a tensão admissível (com o F.S. pedido):
A tensão axial na barra é
onde
é a espessura (dada) e
a altura (a escolher). Requeremos
, logo área mínima:
Substituindo
e
:
Com
(dados), a altura mínima é
Como a chapa pode ser cortada em múltiplos de
, escolhemos a próxima dimensão comercial segura:
Verificação rápida da tensão real com
:
portanto seguro para o F.S. pedido.
Passo 5
Dimensionamento do pino em A (cisalhamento simples).
Explicação: o pino em A deve transferir a força axial do membro
. Para falha por cisalhamento simples usamos a tensão admissível ao cisalhamento
No pino em A a força de cisalhamento a considerar é, em módulo, a força axial
. Área de cisalhamento necessária (uma única superfície de corte):
Área da secção circular do pino:
. Assim
Selecionando o próximo diâmetro comercial disponível (lista dada):
Passo 6
Dimensionamento do pino em B (cisalhamento simples).
No pino em
a força de cisalhamento que atua é a reação vertical do vão,
(a solicitação vertical do feixe é transmitida por esse pino). Área necessária:
Diâmetro teórico:
Escolhendo o diâmetro comercial imediatamente superior:
Passo 7
Dimensionamento do pino em D (cisalhamento duplo).
No pino em
a força de cisalhamento é a reação vertical
. Em cisalhamento duplo o pino tem duas superfícies de corte que compartilham a carga, logo a área eficaz é
. A condição de segurança exige
Equivalentemente, área total necessária por plano (ou área equivalente) pode ser escrita como:
Calculemos:
Diâmetro teórico:
Escolhendo o diâmetro comercial superior:
Passo 8
Verificações finais (usar os diâmetros escolhidos para checar tensões reais e confirmar segurança).
Cálculo das áreas efetivas dos pinos escolhidos:
- Para
: - Para
:
Tensões reais:
- Pino A (
), cisalhamento simples:
- Pino B (
), cisalhamento simples:
- Pino D (
), cisalhamento duplo:
área total de corte,
Barra AB com
:
Todas as verificações mostram tensões reais abaixo dos admissíveis com
.