Questão 12) [Adaptado de Beer et al., 2011]
A barra AB é feita de um aço cuja tensão normal resistente é de \sigma_{\text {res }}=\mathbf{4 0 0 ~} \mathbf{~ M P a}. Os pinos em A, B e D são feitos de um aço cuja tensão de cisalamento resistente é de \boldsymbol{\tau}_{\text {res }}=\mathbf{2 7 0 ~ M P a}. Sabe-se que os pinos em A e em B estão submetidos a cisalhamento simples, enquanto o pino em D está submetido a cisalhamento duplo. Além disso, a barra AB será confeccionada com seção retangular de espessura de 12,5 \mathrm{~mm}. Considerando a máxima tensão normal na barra AB e o cisalhamento nos pinos, determine o diâmetro dos pinos \mathrm{A}, \mathrm{B} e D e a altura da seção da barra \mathrm{AB}\left(d_{\mathrm{A}}, d_{\mathrm{B}}, d_{\mathrm{D}}\right. e h), de forma que se verifique a segurança para F . S .=\mathbf{2 , 0}.
Nota: Considere que pinos de aço são encontrados com diâmetros comerciais de 12,5 \mathrm{~mm}; 16,0 \mathrm{~mm} ; 19,0 \mathrm{~mm} ; 22,0 \mathrm{~mm} e 25,0 \mathrm{~mm}. A chapa com espessura de 19 mm que será cortada para fabricação da barra AB pode ser cortada com dimensões múltiplas de 10 mm .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (dados retirados do enunciado e da figura).
Dados fornecidos:
  • Tensão normal resistente do aço da barra AB: \sigma_{\text{res}}=400\\ \text{MPa}.
  • Tensão de cisalhamento resistente dos pinos: \tau_{\text{res}}=270\\ \text{MPa}.
  • Fator de segurança: F.S.=2{,}0.
  • Os pinos em A e B trabalham em cisalhamento simples; o pino em D trabalha em cisalhamento duplo.
  • Espessura (largura) da seção retangular da barra AB (dimensão no plano perpendicular à altura): t=12{,}5\\ \text{mm}.
  • Diâmetros comerciais disponíveis para pinos: 12{,}5\\ \text{mm},\\\ 16{,}0\\ \text{mm},\\\ 19{,}0\\ \text{mm},\\\ 22{,}0\\ \text{mm},\\\ 25{,}0\\ \text{mm}.
  • A chapa que será cortada permite escolher a altura da seção em múltiplos de 10\\ \text{mm}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar os diâmetros dos pinos em A, B e D: d_A,\\ d_B,\\ d_D.
  • Determinar a altura da seção retangular da barra AB: h.
  • Garantir que todas as peças satisfaçam a condição de segurança com F.S.=2{,}0.
Dados geométricos e cargas (retirados da figura):
  • Carga distribuída sobre a barra horizontal B\!-\!E: w=8\\ \text{kN/m} ao longo de B\!E.
  • Carga concentrada vertical para baixo em C: 20\\ \text{kN}.
  • Distâncias ao longo da barra B\!-\!E: B\!-\!C=0{,}4\\ \text{m}, C\!-\!D=0{,}4\\ \text{m}, D\!-\!E=0{,}4\\ \text{m}.
  • Ângulo da barra AB com a horizontal: 35^\circ.
Observação: a barra AB é um elemento ligado por pinos em A e B (dois terminais); portanto trataremo-la como membro de duas forças (aplica-se somente força axial no membro AB). A reação vertical no pino B é o valor que comunica a força axial na barra AB (componente vertical); a barra transmite essa força para o pino em A (veremos isso nas contas).

Passo 2

Cálculo das reações verticais nos apoios da barra horizontal B\!-\!E (apoios em B e D).
Primeiro, total da carga distribuída sobre B\!E. O comprimento de B\!E é
L = 0{,}4 + 0{,}4 + 0{,}4 = 1{,}2\\ \text{m}.
A resultante da carga distribuída tem intensidade
W = w\cdot L = 8\\ \text{kN/m}\cdot 1{,}2\\ \text{m} = 9{,}6\\ \text{kN}.
Soma das cargas verticais para baixo:
\text{Carga total} = W + 20\\ \text{kN} = 9{,}6 + 20 = 29{,}6\\ \text{kN}.
Equilíbrio de momentos em torno de B para encontrar a reação em D (tomando momentos positivos no sentido anti-horário):
  • O resultado da carga distribuída W=9{,}6\\ \text{kN} age no centro do segmento B\!-\!E, a 0{,}6\\ \text{m} de B, produz momento 9{,}6\cdot 0{,}6\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • A carga concentrada de 20\\ \text{kN} em C está a 0{,}4\\ \text{m} de B, produz momento 20\cdot 0{,}4\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • A reação vertical em D ( R_D) está a 0{,}8\\ \text{m} de B (pois B\!-\!D=0{,}4+0{,}4).
Equação de momento em B:
R_D\cdot 0{,}8 = 9{,}6\cdot 0{,}6 + 20\cdot 0{,}4.
Calculemos:
9{,}6\cdot 0{,}6 = 5{,}76\\ \text{kN}\cdot\text{m},\qquad 20\cdot 0{,}4 = 8{,}0\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
R_D = \dfrac{5{,}76 + 8{,}0}{0{,}8} = \dfrac{13{,}76}{0{,}8} = 17{,}2\\ \text{kN}.
A reação em B obtém-se pela soma vertical das forças:
R_B + R_D = 29{,}6\\ \text{kN}\quad\Rightarrow\quad R_B = 29{,}6 - 17{,}2 = 12{,}4\\ \text{kN}.
Resumo das reações verticais:
R_B = 12{,}4\\ \text{kN},\qquad R_D = 17{,}2\\ \text{kN}.

Passo 3

Força axial na barra AB (membro de duas forças) — relação com a reação em B.
Explicação rápida (do conceito): um membro que está ligado só por pinos nas extremidades e não tem cargas distribuídas internas é um “membro de duas forças”: a única solicitação interna é uma força axial aplicada nas extremidades, de mesma intensidade e linha de ação. No nó em B o equilíbrio vertical exige que a componente vertical da força axial no membro AB compense a reação R_B. Assim a intensidade da força axial F_{AB} no membro AB satisfaz
F_{AB}\sin 35^\circ = R_B.
Logo
F_{AB} = \dfrac{R_B}{\sin 35^\circ}.
Substituindo R_B=12{,}4\\ \text{kN} e \sin 35^\circ\approx 0{,}5736,
F_{AB} \approx \dfrac{12{,}4}{0{,}5736} = 21{,}6\\ \text{kN}.
Em unidades do SI:
F_{AB}\approx 21{,}6\\ \text{kN} = 21\,600\\ \text{N}.
Portanto a barra AB está solicitada por uma força axial de aproximadamente 21{,}6\\ \text{kN}.

Passo 4

Dimensionamento da seção da barra AB para tensão normal admissível.
Primeiro a tensão admissível (com o F.S. pedido):
\sigma_{\text{adm}}=\dfrac{\sigma_{\text{res}}}{F.S.}=\dfrac{400\\ \text{MPa}}{2{,}0}=200\\ \text{MPa}.
A tensão axial na barra é
\sigma = \dfrac{F_{AB}}{A} \quad\text{com}\quad A=t\cdot h,
onde t é a espessura (dada) e h a altura (a escolher). Requeremos \sigma\le \sigma_{\text{adm}}, logo área mínima:
A_{\min} = \dfrac{F_{AB}}{\sigma_{\text{adm}}}.
Substituindo F_{AB}=21\,600\\ \text{N} e \sigma_{\text{adm}}=200\times 10^{6}\\ \text{Pa}:
A_{\min} = \dfrac{21\,600}{200\times 10^{6}} = 1{,}08065\times 10^{-4}\\ \text{m}^2 = 108{,}07\\ \text{mm}^2.
Com t=12{,}5\\ \text{mm} (dados), a altura mínima é
h_{\min} = \dfrac{A_{\min}}{t} = \dfrac{108{,}07}{12{,}5} = 8{,}6456\\ \text{mm}.
Como a chapa pode ser cortada em múltiplos de 10\\ \text{mm}, escolhemos a próxima dimensão comercial segura:
h = 10\\ \text{mm}.
Verificação rápida da tensão real com h=10\\ \text{mm}:
A = t\cdot h = 12{,}5\cdot 10 = 125\\ \text{mm}^2.
\sigma_{\text{real}} = \dfrac{21\,600}{125} = 172{,}8\\ \text{MPa} < 200\\ \text{MPa},
portanto seguro para o F.S. pedido.

Passo 5

Dimensionamento do pino em A (cisalhamento simples).
Explicação: o pino em A deve transferir a força axial do membro AB. Para falha por cisalhamento simples usamos a tensão admissível ao cisalhamento
\tau_{\text{adm}}=\dfrac{\tau_{\text{res}}}{F.S.}=\dfrac{270\\ \text{MPa}}{2{,}0}=135\\ \text{MPa}.
No pino em A a força de cisalhamento a considerar é, em módulo, a força axial F_{AB}=21{,}6\\ \text{kN}. Área de cisalhamento necessária (uma única superfície de corte):
A_{\text{pino},A} = \dfrac{F_{AB}}{\tau_{\text{adm}}} = \dfrac{21\,600}{135\times 10^{6}} = 1{,}60096\times 10^{-4}\\ \text{m}^2 = 160{,}10\\ \text{mm}^2.
Área da secção circular do pino: A=\dfrac{\pi d^2}{4}. Assim
d_{\text{teo}} = \sqrt{\dfrac{4A_{\text{pino},A}}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{4\cdot 160{,}10}{\pi}} = 14{,}29\\ \text{mm}.
Selecionando o próximo diâmetro comercial disponível (lista dada):
d_A = 16{,}0\\ \text{mm}.

Passo 6

Dimensionamento do pino em B (cisalhamento simples).
No pino em B a força de cisalhamento que atua é a reação vertical do vão, R_B=12{,}4\\ \text{kN} (a solicitação vertical do feixe é transmitida por esse pino). Área necessária:
A_{\text{pino},B} = \dfrac{R_B}{\tau_{\text{adm}}} = \dfrac{12\,400}{135\times 10^{6}} = 9{,}185\times 10^{-5}\\ \text{m}^2 = 91{,}85\\ \text{mm}^2.
Diâmetro teórico:
d_{\text{teo}} = \sqrt{\dfrac{4\cdot 91{,}85}{\pi}} = 10{,}81\\ \text{mm}.
Escolhendo o diâmetro comercial imediatamente superior:
d_B = 12{,}5\\ \text{mm}.

Passo 7

Dimensionamento do pino em D (cisalhamento duplo).
No pino em D a força de cisalhamento é a reação vertical R_D=17{,}2\\ \text{kN}. Em cisalhamento duplo o pino tem duas superfícies de corte que compartilham a carga, logo a área eficaz é 2\cdot (\pi d^2/4). A condição de segurança exige
\tau_{\text{real}} = \dfrac{R_D}{2\cdot(\pi d^2/4)} \le \tau_{\text{adm}}.
Equivalentemente, área total necessária por plano (ou área equivalente) pode ser escrita como:
A_{\text{equiv}} = \dfrac{R_D}{2\tau_{\text{adm}}}.
Calculemos:
A_{\text{equiv}} = \dfrac{17\,200}{2\cdot 135\times 10^{6}} = \dfrac{17\,200}{270\times 10^{6}} = 6{,}370\cdot 10^{-5}\\ \text{m}^2 = 63{,}70\\ \text{mm}^2.
Diâmetro teórico:
d_{\text{teo}} = \sqrt{\dfrac{4\cdot 63{,}70}{\pi}} = 9{,}01\\ \text{mm}.
Escolhendo o diâmetro comercial superior:
d_D = 12{,}5\\ \text{mm}.

Passo 8

Verificações finais (usar os diâmetros escolhidos para checar tensões reais e confirmar segurança).
Cálculo das áreas efetivas dos pinos escolhidos:
  • Para d=16{,}0\\ \text{mm}: A=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{\pi\cdot 16^2}{4}=201{,}06\\ \text{mm}^2.
  • Para d=12{,}5\\ \text{mm}: A=\dfrac{\pi\cdot 12{,}5^2}{4}=122{,}72\\ \text{mm}^2.
Tensões reais:
  • Pino A ( d_A=16{,}0\\ \text{mm}), cisalhamento simples:
\tau_A = \dfrac{F_{AB}}{A} = \dfrac{21\,600}{201{,}06\times 10^{6}} = 107{,}5\\ \text{MPa} < \tau_{\text{adm}}=135\\ \text{MPa}.
  • Pino B ( d_B=12{,}5\\ \text{mm}), cisalhamento simples:
\tau_B = \dfrac{R_B}{A} = \dfrac{12\,400}{122{,}72\times 10^{6}} = 101{,}0\\ \text{MPa} < 135\\ \text{MPa}.
  • Pino D ( d_D=12{,}5\\ \text{mm}), cisalhamento duplo:
    área total de corte =2\cdot 122{,}72=245{,}44\\ \text{mm}^2,
\tau_D = \dfrac{R_D}{2A_{\text{plano}}} = \dfrac{17\,200}{245{,}44\times 10^{6}} = 70{,}1\\ \text{MPa} < 135\\ \text{MPa}.
Barra AB com h=10\\ \text{mm}:
A_{\text{AB}} = 12{,}5\cdot 10 = 125\\ \text{mm}^2,\qquad \sigma_{\text{AB}} = \dfrac{21\,600}{125} = 172{,}8\\ \text{MPa} < 200\\ \text{MPa}.
Todas as verificações mostram tensões reais abaixo dos admissíveis com F.S.=2{,}0.

Resposta

d_A = 16{,}0\\ \text{mm}
d_B = 12{,}5\\ \text{mm}
d_D = 12{,}5\\ \text{mm}
h = 10\\ \text{mm}

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