Questão 12 A areia tem
. Calcule o gradiente hidráulico que causará o estado de areia movediça para
e 0,7 . Trace um gráfico para dos valores de gradiente hidráulico crítico (
) em função dos valores índice de vazios (e).
Passo 1
O enunciado dá o peso específico relativo dos grãos de areia
e pede para calcular o gradiente hidráulico crítico que provoca areia movediça (ou seja, quando o solo perde tensão efetiva) para os valores do índice de vazios
. Também pede um gráfico de
em função de
.
Informações relevantes fornecidas:
O que é pedido:
- Calcular
para cada um dos quatro valores de . - Traçar (ou fornecer os pontos para traçar) o gráfico de
versus .
Passo 2
Entendendo fisicamente o que é o gradiente hidráulico crítico: quando a água sobe através de um solo saturado, ela exerce uma força de arraste para cima (força de cisalhamento por percolação). A condição de areia movediça (ou “quick condition”) ocorre quando essa força de arraste por unidade de volume se iguala ao peso aparente (submerso) do solo por unidade de volume — nesse instante a tensão efetiva fica zero e o solo perde resistência. O gradiente hidráulico crítico
é o valor adimensional do gradiente quando isso acontece. É importante lembrar que
é adimensional (sem unidade).
Passo 3
Vamos escrever as relações que usamos (e explicar cada símbolo):
-
= peso específico da água (não precisamos do valor numérico porque ele se cancela). -
= peso específico dos sólidos; relaciona-se com por . -
= índice de vazios (dado). - Fração de vazios (porosidade em volume total) é
. - Peso por unidade de volume do solo saturado (peso específico saturado) é
Explicação rápida: no numerador vai o peso relativo dos sólidos (
) mais o volume de água (
), dividido pelo volume total
, multiplicado por
.
- Peso aparente (submerso) por unidade de volume — que é a parte que precisa ser equilibrada pela força de percolação para anular a tensão efetiva — é
Explicação: subtrai-se
(o peso da água) do peso saturado para obter o peso submerso.
- A força de percolação para cima por unidade de volume (força corpo) é
, onde é o gradiente hidráulico.
A condição crítica (tensão efetiva zero) é:
Passo 4
A partir da igualdade acima substituímos
:
Cancelando
em ambos os lados (por isso o gradiente é adimensional) obtemos a fórmula clássica:
Comentário: esta é a expressão que vamos usar. Note que
é a diferença entre a gravidade específica dos sólidos e a da água;
é o volume total relativo (sólidos + vazios) por unidade de volume de sólidos.
Passo 5
Agora substituímos
, então
. Calculamos para cada
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Eu mantive três casas decimais para consistência; os cálculos são simples divisões que você consegue fazer na prova sem calculadora (ou com calculadora se permitido).
Passo 6
Pontos para o gráfico
: use eixo horizontal
e vertical
. Os pontos que você vai marcar são:
Como orientação para desenhar: escolha eixo
de
a
e eixo
de
a
. Una os pontos com uma curva suave e decrescente — matematicamente
é uma hipérbole (decrescente com
). Se for plotar no Excel/Matlab/Python, basta avaliar a função para uma malha de
entre
e
e traçar.
Dica de prova: memorize a forma
. Não se esqueça de cancelar
ao comparar forças; o resultado é adimensional.
Passo 7
Resumo rápido e motivacional: a conta é direta depois de entender que equilibramos a força de percolação com o peso submerso. Mantém a calma — decore a fórmula e pratique 2–3 cálculos parecidos e você resolve isso numa boa na prova. Força, você consegue!
Resposta
Para
:
\n
Para :
\n
Para :
\n
Para :
Para
Para
Para