Questão 12 A areia tem \mathrm{Gs}=2,68. Calcule o gradiente hidráulico que causará o estado de areia movediça para \mathrm{e}=0,4 ; 0,5 ; 0,6 e 0,7 . Trace um gráfico para dos valores de gradiente hidráulico crítico ( \mathrm{i}_{\mathrm{cr}} ) em função dos valores índice de vazios (e).

Passo 1

O enunciado dá o peso específico relativo dos grãos de areia \mathrm{Gs}=2{,}68 e pede para calcular o gradiente hidráulico crítico que provoca areia movediça (ou seja, quando o solo perde tensão efetiva) para os valores do índice de vazios \mathrm{e}=0{,}4;\;0{,}5;\;0{,}6;\;0{,}7. Também pede um gráfico de i_{\mathrm{cr}} em função de e.
Informações relevantes fornecidas:
  • \mathrm{Gs}=2{,}68
  • \mathrm{e}=0{,}4,\;0{,}5,\;0{,}6,\;0{,}7
O que é pedido:
  • Calcular i_{\mathrm{cr}} para cada um dos quatro valores de e.
  • Traçar (ou fornecer os pontos para traçar) o gráfico de i_{\mathrm{cr}} versus e.

Passo 2

Entendendo fisicamente o que é o gradiente hidráulico crítico: quando a água sobe através de um solo saturado, ela exerce uma força de arraste para cima (força de cisalhamento por percolação). A condição de areia movediça (ou “quick condition”) ocorre quando essa força de arraste por unidade de volume se iguala ao peso aparente (submerso) do solo por unidade de volume — nesse instante a tensão efetiva fica zero e o solo perde resistência. O gradiente hidráulico crítico i_{\mathrm{cr}} é o valor adimensional do gradiente quando isso acontece. É importante lembrar que i_{\mathrm{cr}} é adimensional (sem unidade).

Passo 3

Vamos escrever as relações que usamos (e explicar cada símbolo):
  • \gamma_{w} = peso específico da água (não precisamos do valor numérico porque ele se cancela).
  • \gamma_{s} = peso específico dos sólidos; relaciona-se com \mathrm{Gs} por \gamma_{s}=\mathrm{Gs}\,\gamma_{w}.
  • \mathrm{e} = índice de vazios (dado).
  • Fração de vazios (porosidade em volume total) é n=\dfrac{\mathrm{e}}{1+\mathrm{e}}.
  • Peso por unidade de volume do solo saturado (peso específico saturado) é
\gamma_{\mathrm{sat}}=\gamma_{w}\,\frac{\mathrm{Gs}+\mathrm{e}}{1+\mathrm{e}}.
Explicação rápida: no numerador vai o peso relativo dos sólidos ( \mathrm{Gs}) mais o volume de água ( \mathrm{e}), dividido pelo volume total (1+\mathrm{e}), multiplicado por \gamma_w.
  • Peso aparente (submerso) por unidade de volume — que é a parte que precisa ser equilibrada pela força de percolação para anular a tensão efetiva — é
\gamma'=\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_{w}=\gamma_{w}\,\frac{\mathrm{Gs}-1}{1+\mathrm{e}}.
Explicação: subtrai-se \gamma_w (o peso da água) do peso saturado para obter o peso submerso.
  • A força de percolação para cima por unidade de volume (força corpo) é i\,\gamma_{w}, onde i é o gradiente hidráulico.
A condição crítica (tensão efetiva zero) é:
i_{\mathrm{cr}}\,\gamma_{w}=\gamma'.

Passo 4

A partir da igualdade acima substituímos \gamma':
i_{\mathrm{cr}}\,\gamma_{w}=\gamma_{w}\,\frac{\mathrm{Gs}-1}{1+\mathrm{e}}.
Cancelando \gamma_{w} em ambos os lados (por isso o gradiente é adimensional) obtemos a fórmula clássica:
i_{\mathrm{cr}}=\frac{\mathrm{Gs}-1}{1+\mathrm{e}}.
Comentário: esta é a expressão que vamos usar. Note que \mathrm{Gs}-1 é a diferença entre a gravidade específica dos sólidos e a da água; 1+\mathrm{e} é o volume total relativo (sólidos + vazios) por unidade de volume de sólidos.

Passo 5

Agora substituímos \mathrm{Gs}=2{,}68, então \mathrm{Gs}-1=1{,}68. Calculamos para cada \mathrm{e}:
Para \mathrm{e}=0{,}4:
i_{\mathrm{cr}}=\frac{1{,}68}{1+0{,}4}=\frac{1{,}68}{1{,}4}=1{,}200.
Para \mathrm{e}=0{,}5:
i_{\mathrm{cr}}=\frac{1{,}68}{1+0{,}5}=\frac{1{,}68}{1{,}5}=1{,}120.
Para \mathrm{e}=0{,}6:
i_{\mathrm{cr}}=\frac{1{,}68}{1+0{,}6}=\frac{1{,}68}{1{,}6}=1{,}050.
Para \mathrm{e}=0{,}7:
i_{\mathrm{cr}}=\frac{1{,}68}{1+0{,}7}=\frac{1{,}68}{1{,}7}\approx0{,}988.
Eu mantive três casas decimais para consistência; os cálculos são simples divisões que você consegue fazer na prova sem calculadora (ou com calculadora se permitido).

Passo 6

Pontos para o gráfico i_{\mathrm{cr}}(e): use eixo horizontal e e vertical i_{\mathrm{cr}}. Os pontos que você vai marcar são:
(0{,}4,\;1{,}200),\quad (0{,}5,\;1{,}120),\quad (0{,}6,\;1{,}050),\quad (0{,}7,\;0{,}988).
Como orientação para desenhar: escolha eixo e de 0{,}35 a 0{,}75 e eixo i de 0{,}9 a 1{,}3. Una os pontos com uma curva suave e decrescente — matematicamente i_{\mathrm{cr}}=\dfrac{1{,}68}{1+\mathrm{e}} é uma hipérbole (decrescente com e). Se for plotar no Excel/Matlab/Python, basta avaliar a função para uma malha de e entre 0{,}4 e 0{,}7 e traçar.
Dica de prova: memorize a forma i_{\mathrm{cr}}=\dfrac{\mathrm{Gs}-1}{1+\mathrm{e}}. Não se esqueça de cancelar \gamma_w ao comparar forças; o resultado é adimensional.

Passo 7

Resumo rápido e motivacional: a conta é direta depois de entender que equilibramos a força de percolação com o peso submerso. Mantém a calma — decore a fórmula e pratique 2–3 cálculos parecidos e você resolve isso numa boa na prova. Força, você consegue!

Resposta

Para \mathrm{e}=0{,}4: i_{\mathrm{cr}}=1{,}200\n
Para \mathrm{e}=0{,}5: i_{\mathrm{cr}}=1{,}120\n
Para \mathrm{e}=0{,}6: i_{\mathrm{cr}}=1{,}050\n
Para \mathrm{e}=0{,}7: i_{\mathrm{cr}}\approx0{,}988

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