QUESTÃO 12 - Calcule \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H} para cada uma das seguintes mudanças de estado de 2,5 mols de um gás ideal com \left.\mathrm{C}_{\mathrm{V}, \mathrm{m}}=1,5 \mathrm{R}:\mathrm{a}\right)(1,5 \mathrm{~atm}, 400 \mathrm{~K}) \rightarrow(3,0 \mathrm{~atm}, 600 \mathrm{~K}); b))(2,5 \mathrm{~atm}, 20,0 \mathrm{~L}) \rightarrow(2,0 \mathrm{~atm} ,30,0 \mathrm{~L})$

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede para calcular \Delta U e \Delta H para 2{,}5 mols de um gás ideal em duas mudanças de estado (duas alíneas).
  • Dados da alínea (a): estado inicial (1{,}5\\ \mathrm{atm},\;400\\ \mathrm{K}) e final (3{,}0\\ \mathrm{atm},\;600\\ \mathrm{K}).
  • Dados da alínea (b): estado inicial (2{,}5\\ \mathrm{atm},\;20{,}0\\ \mathrm{L}) e final (2{,}0\\ \mathrm{atm},\;30{,}0\\ \mathrm{L}).
  • Informação adicional dada: \,C_{V,m}=1{,}5\,R (molar heat capacity at constant volume).
  • Quantidade de matéria: n=2{,}5\\ \mathrm{mol}.
  • Perguntas explícitas: calcular \Delta U e \Delta H para cada mudança de estado.

Passo 2

Fórmulas fundamentais que vamos usar (explicação didática):
  • Para um gás ideal, a energia interna depende só da temperatura. Isso significa que a variação de energia interna numa transformação entre dois estados é dada por
\Delta U = n\,C_{V,m}\,\Delta T,
onde n é o número de mols, C_{V,m} é a capacidade calorífica molar a volume constante (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}) e \Delta T = T_2-T_1 é a variação de temperatura (em K). Explicando: C_{V,m} nos diz quanto de energia interna (por mol) aumenta quando a temperatura sobe 1 K mantendo o volume fixo; mesmo que o processo não seja a volume fixo, para gás ideal \Delta U depende apenas de \Delta T.
  • A entalpia molar de um gás ideal satisfaz a relação
C_{P,m}=C_{V,m}+R,
onde R é a constante dos gases perfeitos ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}). Assim, a variação de entalpia é
\Delta H = n\,C_{P,m}\,\Delta T = n\,(C_{V,m}+R)\,\Delta T.
Explicando: entalpia é energia interna mais PV; para gás ideal isso traz mais um termo que resulta simplesmente em adicionar R à capacidade molar.

Passo 3

Unidades e valores de R que usaremos (porque aparecem duas vezes com unidades diferentes):
  • Para calcular temperaturas a partir de PV=nRT quando P está em \mathrm{atm} e V em \mathrm{L}, é prático usar R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Para calcular energias (joules) usando \Delta U = n C_{V,m}\Delta T com C_{V,m} dado em múltiplos de R, usamos R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Observação: C_{V,m}=1{,}5\,R significa numericamente C_{V,m}=1{,}5\times 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 4

Resolução da alínea (a) — identificar \Delta T:
  • Nos deram diretamente as temperaturas: T_1=400\\ \mathrm{K} e T_2=600\\ \mathrm{K}.
  • Então
\Delta T = T_2-T_1 = 600-400 = 200\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Alínea (a) — calcular \Delta U:
  • Usamos \Delta U = n\,C_{V,m}\,\Delta T.
  • Substituindo C_{V,m}=1{,}5\,R e n=2{,}5:
\Delta U = 2{,}5\times(1{,}5\,R)\times 200 = 750\,R.
  • Agora convertemos para joules com R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}:
\Delta U = 750\times 8{,}314 = 6{,}235{,}5\\ \mathrm{J}\approx 6{,}24\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação rápida: \Delta U>0 significa que a energia interna aumentou (temperatura subiu).

Passo 6

Alínea (a) — calcular \Delta H:
  • Primeiro C_{P,m}=C_{V,m}+R = 1{,}5\,R + R = 2{,}5\,R.
  • Então
\Delta H = n\,C_{P,m}\,\Delta T = 2{,}5\times(2{,}5\,R)\times 200 = 1250\,R.
  • Em joules:
\Delta H = 1250\times 8{,}314 = 10{,}392{,}5\\ \mathrm{J}\approx 1{,}04\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Resolução da alínea (b) — calcular as temperaturas iniciais e finais usando a equação de estado:
  • Para gás ideal: PV=nRT. Aqui usaremos R=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} para manter \mathrm{atm} e \mathrm{L}.
  • Estado inicial: P_1=2{,}5\\ \mathrm{atm}, V_1=20{,}0\\ \mathrm{L}. Então
T_1=\frac{P_1V_1}{nR}=\frac{2{,}5\times 20{,}0}{2{,}5\times 0{,}082057}=\frac{50{,}0}{0{,}2051425}\approx 243{,}884\\ \mathrm{K}.
  • Estado final: P_2=2{,}0\\ \mathrm{atm}, V_2=30{,}0\\ \mathrm{L}. Então
T_2=\frac{P_2V_2}{nR}=\frac{2{,}0\times 30{,}0}{2{,}5\times 0{,}082057}=\frac{60{,}0}{0{,}2051425}\approx 292{,}661\\ \mathrm{K}.
  • Assim
\Delta T = T_2-T_1 \approx 292{,}661-243{,}884 = 48{,}777\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Alínea (b) — calcular \Delta U:
  • Usamos \Delta U = n\,C_{V,m}\,\Delta T com C_{V,m}=1{,}5\,R e agora R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • Calculemos o fator n\,C_{V,m}=2{,}5\times 1{,}5\times 8{,}314 = 31{,}1775\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Então
\Delta U = 31{,}1775\times 48{,}777 \approx 1{,}520{,}7\\ \mathrm{J}\approx 1{,}52\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Alínea (b) — calcular \Delta H:
  • C_{P,m}=C_{V,m}+R=2{,}5\,R. O fator n\,C_{P,m}=2{,}5\times 2{,}5\times 8{,}314 = 51{,}9625\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Então
\Delta H = 51{,}9625\times 48{,}777 \approx 2{,}534{,}6\\ \mathrm{J}\approx 2{,}53\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 10

Resumo interpretativo rápido (estímulo): em (a) a grande subida de temperatura (200 K) domina e produz variações de energia relativamente grandes; em (b) houve um aquecimento mais modesto ( \approx 49 K) e, por isso, \Delta U e \Delta H são menores. Lembre-se: para gás ideal \Delta U depende só de \Delta T, e \Delta H também só de \Delta T.

Resposta

a) \Delta U = 6,24\times10^{3}\\ \mathrm{J} \
a) \Delta H = 1,04\times10^{4}\\ \mathrm{J} \
b) \Delta U = 1,52\times10^{3}\\ \mathrm{J} \
b) \Delta H = 2,53\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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