QUESTÃO 18 - Seja o aquecimento de 500 g de água de 25^{\circ} \mathrm{C} para 50^{\circ} \mathrm{C}, sob pressão constante de 1 atm . Determine o trabalho e a variação de entalpia no processo. Dados para água: \mathrm{MM}=18 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}; \mathrm{C}_{\mathrm{p}, \mathrm{m}}=75,30 \mathrm{~J} . \mathrm{K}^{-1} . \mathrm{mol}^{-1} ; \alpha=2,07 \times 10^{-4} . \mathrm{K}^{-1} ; \rho=0,997 \mathrm{~g} . \mathrm{cm}^{-3} . \boldsymbol{R} .:\boldsymbol{W}=\mathbf{0 , 2 6 3 J} ; \boldsymbol{\Delta H}=\mathbf{5 2 , 2 9 k J}\\.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o trabalho realizado no aquecimento de água sob pressão constante de 1\\ \mathrm{atm}.
  • Determinar a variação de entalpia no mesmo processo.
Informações dadas (vou listar exatamente como vier no enunciado):
\begin{aligned} &\text{massa da água: } m = 500\\ \mathrm{g}\\\ &\text{temperatura inicial: } T_i = 25^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{temperatura final: } T_f = 50^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{pressão constante: } P = 1\\ \mathrm{atm}\\\ &\text{massa molar da água: } M = 18\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}\\\ &\text{capacidade calorífica molar a pressão constante: } C_{p,m} = 75{,}30\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}\\\ &\text{coeficiente de expansão volumétrica: } \alpha = 2{,}07\times 10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}}\\\ &\text{densidade da água (aprox.): } \rho = 0{,}997\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}} \end{aligned}áãáíããéá
Observação: o enunciado pede duas quantidades (trabalho e variação de entalpia). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Calcular a quantidade de matéria (número de mols) de água para usar C_{p,m}.
Fórmula:
n = \frac{m}{M}
onde m é a massa (em \mathrm{g}) e M é a massa molar (em \mathrm{g\cdot mol^{-1}}). Substituindo:
n = \frac{500}{18}
Vamos efetuar a divisão:
n = 27{,}777\overline{7}\\ \mathrm{mol}\approx 27{,}7778\\ \mathrm{mol}.
Explicação didática: isso nos diz quantos mols de água existem em 500\\ \mathrm{g}; com isso podemos multiplicar por propriedades molares como C_{p,m}.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = T_f - T_i = 50^\circ\mathrm{C} - 25^\circ\mathrm{C} = 25\\ \mathrm{K}.
Observação: graus Celsius e kelvin têm a mesma diferença numérica para variações de temperatura, então podemos usar 25\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a variação de entalpia \Delta H.
Conceito e fórmula usada: para um aquecimento a pressão constante, se C_{p,m} for aproximadamente constante no intervalo de temperatura, a variação de entalpia da amostra é
\Delta H = n\,C_{p,m}\,\Delta T,
onde n é o número de mols, C_{p,m} é a capacidade calorífica molar a pressão constante e \Delta T é a variação de temperatura. Aqui usamos essa expressão porque entalpia é a função de estado cujo diferencial a pressão constante é dH = C_p\,dT; integrando com C_p praticamente constante dá a fórmula acima.
Substituindo os valores:
\Delta H = 27{,}7778\cdot 75{,}30\cdot 25\\ \mathrm{J}.
Fazendo as contas passo a passo:
75{,}30\cdot 25 = 1\,882{,}5\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}},
\Delta H = 27{,}7778\cdot 1\,882{,}5 = 52\,291{,}39\\ \mathrm{J}.
Convertendo para quilojoules:
\Delta H = 52{,}291{,}39\\ \mathrm{J} = 52{,}29\\ \mathrm{kJ}\\ (\text{arredondando duas casas decimais}).
Comentário amigo: a entalpia mudou cerca de 52{,}3\\ \mathrm{kJ} — é a energia térmica que entrou no sistema a pressão constante (na prática isso é o calor absorvido q_p).

Passo 5

Calcular o volume inicial da água V_0 para poder estimar a variação de volume e, daí, o trabalho W.
Fórmula:
V_0 = \frac{m}{\rho}.
Cuidado com unidades: dados em massa m em \mathrm{g} e densidade \rho em \mathrm{g\cdot cm^{-3}} dão V_0 em \mathrm{cm^3}. Depois convertemos para \mathrm{m^3} (pois o SI exige \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m^3}=\mathrm{J} para o trabalho).
Cálculo:
V_0 = \frac{500\\ \mathrm{g}}{0{,}997\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}} = 501{,}5065\\ \mathrm{cm^3}.
Converter para \mathrm{m^3}:
V_0 = 501{,}5065\\ \mathrm{cm^3}\times 1\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^3\cdot cm^{-3}} = 5{,}015065\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.
Explicação: converti \mathrm{cm^3} em \mathrm{m^3} sabendo que 1\\ \mathrm{cm^3}=10^{-6}\\ \mathrm{m^3}.

Passo 6

Calcular a variação de volume \Delta V usando o coeficiente de expansão volumétrica \alpha.
Fórmula (aproximação linear válida para variações pequenas de temperatura):
\Delta V = V_0\,\alpha\,\Delta T,
onde \alpha é o coeficiente de expansão volumétrica (fração de variação do volume por unidade de temperatura).
Substituindo numéricos:
\alpha\,\Delta T = 2{,}07\times 10^{-4}\cdot 25 = 5{,}175\times 10^{-3}.
\Delta V = 5{,}015065\times 10^{-4}\cdot 5{,}175\times 10^{-3} = 2{,}59557\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^3}.
Interpretação: o volume aumentou só alguns micrómetros cúbicos por causa do aquecimento — água é pouco expansível, então o volume varia pouco.

Passo 7

Calcular o trabalho W realizado devido à expansão contra a pressão externa.
Escolha de sinal e fórmula: existem duas convenções comuns:
  • Convenção da física/termodinâmica (trabalho feito pelo sistema é positivo): W = P\,\Delta V.
  • Convenção química (energia trocada do ponto de vista do sistema): w = -P\,\Delta V.
    O enunciado pede “o trabalho” e os valores fornecidos de referência usam o valor positivo 0{,}263\\ \mathrm{J}. Vou apresentar o trabalho como o trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente: W = P\,\Delta V. Se você preferir o sinal da termodinâmica química, basta trocar de sinal.
Converter pressão para SI:
P = 1\\ \mathrm{atm} = 1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Calcular W:
W = P\,\Delta V = 1{,}01325\times 10^{5}\cdot 2{,}59557\times 10^{-6}\\ \mathrm{J}.
Fazendo a multiplicação:
W = 0{,}26306\\ \mathrm{J}\approx 0{,}263\\ \mathrm{J}.
Comentário: se usássemos a convenção química de sinal (onde trabalho feito pelo sistema aparece negativo), escreveríamos w = -0{,}263\\ \mathrm{J}. Aqui, como a referência indica 0{,}263\\ \mathrm{J}, mantive o valor positivo para o trabalho realizado pelo sistema.

Passo 8

Comparação e conclusão física:
  • A variação de entalpia \Delta H \approx 52{,}29\\ \mathrm{kJ} é muito maior que o trabalho de expansão W \approx 0{,}263\\ \mathrm{J}. Isso mostra que praticamente toda a energia térmica fornecida foi usada para aumentar a energia interna/entálpica da água; o trabalho de expansão é desprezível frente à energia térmica envolvida no aquecimento de um líquido.
  • As aproximações usadas: C_{p,m} e \alpha tratados como constantes no intervalo 25 50^\circ\mathrm{C}; densidade considerada como a dada; variação de volume linearizada por \Delta V = V_0\alpha\Delta T. Para água essas aproximações são muito razoáveis para este ΔT.

Resposta

W = 0{,}263\\ \mathrm{J}
\Delta H = 52{,}29\\ \mathrm{kJ}

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