Questão 10. Encontre o valor da área limitada pelos gráficos das funções f(x)=x e f(x)=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos de f(x)=x e f(x)=x^2. O conteúdo aqui é “área entre curvas” e vamos precisar (1) encontrar os pontos de interseção dessas duas funções e (2) montar uma integral definida da função de cima menos a de baixo.

Passo 2

Para saber onde as curvas se encontram, igualamos
x = x^2
isso dá
x^2 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x - 1) = 0
Logo, os pontos de interseção são x=0 e x=1.

Passo 3

Entre x=0 e x=1, comparamos os valores de f(x)=x e g(x)=x^2. Para 0<x<1 temos
x > x^2
Portanto, a função superior é f(x)=x e a inferior é g(x)=x^2.

Passo 4

A área A entre as curvas de x=0 a x=1 é
A = \int_{0}^{1} \bigl(x - x^2\bigr)\,dx.
Calculando essa integral:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}, \quad \int_{0}^{1} x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Logo,
A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

Resposta

A área limitada pelos gráficos de f(x)=x e f(x)=x^2 é \tfrac{1}{6}.

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