Questão 12. Calcule
\int x^{5} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
\int x^{5}\ln x\,dx.
O método mais adequado aqui é a integração por partes, cujo conteúdo nos permite transformar uma integral de um produto em termos mais simples.

Passo 2

Lembrando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 3

Escolhemos
u = \ln x e dv = x^{5}\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \int x^{5}\,dx = \frac{x^{6}}{6}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes:
\int x^{5}\ln x\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^{6}}{6}\ln x \;-\;\int \frac{x^{6}}{6}\,\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando a segunda integral:
\int \frac{x^{6}}{6}\,\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{6}\int x^{5}\,dx = \frac{1}{6}\cdot\frac{x^{6}}{6} = \frac{x^{6}}{36}.
Portanto, adicionando a constante de integração C:
\int x^{5}\ln x\,dx = \frac{x^{6}}{6}\ln x \;-\;\frac{x^{6}}{36} + C.

Resposta

\int x^{5}\ln x\,dx = \frac{x^{6}}{6}\ln x - \frac{x^{6}}{36} + C.

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