Questão 9. É verdade que
?
Passo 1
O enunciado pergunta se vale sempre a igualdade
O conteúdo é cálculo de integrais e propriedades de operações com integrais. Vamos verificar em geral se essa identidade se mantiene.
Passo 2
Suponha que a igualdade fosse verdadeira em geral. Então definimos
e a hipótese diz que
Diferenciando ambos os lados em relação a
, pelo Teorema Fundamental do Cálculo e pela Regra do Produto, teríamos
Isso implicaria
o que, em geral, não se satisfaz, a menos de casos muito especiais.
Passo 3
Para deixar claro que em geral falha, pegamos um exemplo concreto. Seja
Passo 4
Calculamos cada lado:
Lado esquerdo:
Lado esquerdo:
Lado direito:
logo
Claramente
não coincide com
, então a igualdade falha.
Passo 5
Concluímos que, de modo geral, não é verdade que
Somente em casos triviais (por exemplo, se uma das funções for identicamente zero ou constantes de integração ajustadas de modo degenerate) a igualdade pode acontecer, mas não como regra.
Resposta
Não. Em geral