Questão 9. É verdade que \int f(x) g(x) d x=\left(\int f(x) d x\right)\left(\int g(x) d x\right) ?

Passo 1

O enunciado pergunta se vale sempre a igualdade
\int f(x)\,g(x)\,\mathrm{d}x = \biggl(\int f(x)\,\mathrm{d}x\biggr)\,\biggl(\int g(x)\,\mathrm{d}x\biggr).
O conteúdo é cálculo de integrais e propriedades de operações com integrais. Vamos verificar em geral se essa identidade se mantiene.

Passo 2

Suponha que a igualdade fosse verdadeira em geral. Então definimos
F(x)=\int f(x)\,\mathrm{d}x, \quad G(x)=\int g(x)\,\mathrm{d}x,
e a hipótese diz que
\int f(x)\,g(x)\,\mathrm{d}x = F(x)\,G(x).
Diferenciando ambos os lados em relação a x, pelo Teorema Fundamental do Cálculo e pela Regra do Produto, teríamos
f(x)\,g(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(F(x)\,G(x)\bigr) = F'(x)\,G(x) + F(x)\,G'(x) = f(x)\,G(x) + F(x)\,g(x).
Isso implicaria
f(x)\,g(x) = f(x)\,G(x) + F(x)\,g(x) \quad\text{para todo }x,
o que, em geral, não se satisfaz, a menos de casos muito especiais.

Passo 3

Para deixar claro que em geral falha, pegamos um exemplo concreto. Seja
f(x)=x \quad\text{e}\quad g(x)=x.

Passo 4

Calculamos cada lado:
Lado esquerdo:
\int f(x)\,g(x)\,\mathrm{d}x = \int x\cdot x \,\mathrm{d}x = \int x^2\,\mathrm{d}x = \frac{x^3}{3} + C_1.
Lado direito:
\int f(x)\,\mathrm{d}x = \int x\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} + C_2, \quad \int g(x)\,\mathrm{d}x = \int x\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} + C_3,
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\bigl(\tfrac{x^2}{2}+C_2\bigr)\,\bigl(\tfrac{x^2}{2}+C_3\bigr) = \frac{x^4}{4} + \text{(termos de menor grau)}.
Claramente \tfrac{x^3}{3} não coincide com \tfrac{x^4}{4}, então a igualdade falha.

Passo 5

Concluímos que, de modo geral, não é verdade que
\int f(x)\,g(x)\,\mathrm{d}x = \bigl(\int f(x)\,\mathrm{d}x\bigr)\,\bigl(\int g(x)\,\mathrm{d}x\bigr).
Somente em casos triviais (por exemplo, se uma das funções for identicamente zero ou constantes de integração ajustadas de modo degenerate) a igualdade pode acontecer, mas não como regra.

Resposta

Não. Em geral
\int f(x)\,g(x)\,\mathrm{d}x \neq \Bigl(\int f(x)\,\mathrm{d}x\Bigr)\,\Bigl(\int g(x)\,\mathrm{d}x\Bigr).

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