Questão 12. Calcule a integral iterada.
integral0^pi2 integral0^sin theta r cos theta d r d theta

Passo 1

A questão pede calcular a integral iterada
integral0^pi2integral0^sinthetarcostheta,dr,dtheta
Este é um exercício de integrais iteradas em coordenadas retangulares. Vamos primeiro integrar em r tratando theta como constante, e depois integrar em theta.

Passo 2

Na integral interna em r temos costheta como constante, então calculamos
integral0^sinthetar,dr=r^22|0^sintheta=sin^2theta2
Assim a integral original vira
integral0^pi2sin^2theta2costheta,dtheta

Passo 3

Para resolver
integral0^pi2sin^2theta2costheta,dtheta
vamos usar a substituição u=sintheta, logo du=costheta,dtheta. Quando theta=0, u=0; quando theta=pi2, u=1. A integral se transforma em
12integral0^1u^2,du

Passo 4

Basta agora integrar em u:
integral0^1u^2,du=u^33|0^1=13
Multiplicando pelo fator tfrac12 obtemos o valor final da integral iterada:

Passo 5

Somando tudo, o resultado é
12cdot13=16

Resposta

tfrac16

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