Questão 12. Calcule a integral iterada.
Passo 1
A questão pede calcular a integral iterada
Este é um exercício de integrais iteradas em coordenadas retangulares. Vamos primeiro integrar em
tratando
como constante, e depois integrar em
.
Passo 2
Na integral interna em
temos
como constante, então calculamos
Assim a integral original vira
Passo 3
Para resolver
vamos usar a substituição
u=sintheta , logo
du=costheta,dtheta . Quando
theta=0 ,
u=0 ; quando
theta=pi2 ,
u=1 . A integral se transforma em
Passo 4
Basta agora integrar em
u :
Multiplicando pelo fator
tfrac12 obtemos o valor final da integral iterada:
Passo 5
Somando tudo, o resultado é