Questão 4. (25 pontos) Considere a função f: R R definida por f(x)=-(x+5)^2-2.
(i) (5 pontos) Determine o ponto do gráfico de f de ordenada 2, isto é, o par (2, f(2)).
(ii) (10 pontos) Encontre o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, f(2)) através do limite
lim x 2 f(x)-f(2)x-2
(iii) (10 pontos) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, f(2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função $ f(x) = - (x + 5)^2 - 2 $. O exercício está pedindo para a gente:
  1. Encontrar o ponto no gráfico de $ f $ onde a ordenada é 2, ou seja, o par $ (2, f(2)) $.
  2. Calcular a inclinação da reta tangente a esse ponto usando o limite.
  3. Determinar a equação dessa reta tangente.
Para resolver tudo isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções quadráticas, cálculo de valores de funções e derivadas usando limites. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto $ (2, f(2)) $. Isso significa substituir $ x = 2 $ na função para encontrar $ f(2) $.
(2, f(2))
Então, o ponto é $ (2, -51) $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente no ponto $ (2, -51) $. Isso significa encontrar a derivada de $ f $ em $ x = 2 $ usando o limite:
(2, -51)
Substituindo os valores:
f
Então, a expressão do limite fica:
x = 2
Simplificando o numerador:
limx to 2 f(x) - f(2)x - 2
Agora, temos:
f(x) - f(2) = [ - (x + 5)^2 - 2 ] - (-51) = - (x + 5)^2 - 2 + 51 = - (x + 5)^2 + 49
Para resolver esse limite, podemos fatorar o numerador:
limx to 2 - (x + 5)^2 + 49 x - 2
Então, substituindo:
- (x + 5)^2 + 49 = - (x^2 + 10x + 25) + 49 = -x^2 - 10x - 25 + 49 = -x^2 - 10x + 24
Portanto, o coeficiente angular é $ -14 $.

Passo 4

Por fim, vamos determinar a equação da reta tangente no ponto $ (2, -51) $ com coeficiente angular $ m = -14 $.
A equação geral da reta é:
(2, -51)
Sabemos que a reta passa pelo ponto $ (2, -51) $. Vamos substituir para encontrar $ b $:
m = -14
Então, a equação da reta tangente é:
y = m x + b

Resposta

(i) O ponto é $ (2, -51) $.
(ii) O coeficiente angular da reta tangente é $ -14 $.
(iii) A equação da reta tangente é $ y = -14x - 23 $.

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