Questão 4. (25 pontos) Considere a função
definida por
.
(i) (5 pontos) Determine o ponto do gráfico de
de ordenada 2, isto é, o par
.
(ii) (10 pontos) Encontre o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
no ponto
através do limite
(iii) (10 pontos) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
(i) (5 pontos) Determine o ponto do gráfico de
(ii) (10 pontos) Encontre o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função $ f(x) = - (x + 5)^2 - 2 $. O exercício está pedindo para a gente:
- Encontrar o ponto no gráfico de $ f $ onde a ordenada é 2, ou seja, o par $ (2, f(2)) $.
- Calcular a inclinação da reta tangente a esse ponto usando o limite.
- Determinar a equação dessa reta tangente.
Para resolver tudo isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções quadráticas, cálculo de valores de funções e derivadas usando limites. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto $ (2, f(2)) $. Isso significa substituir $ x = 2 $ na função para encontrar $ f(2) $.
Então, o ponto é $ (2, -51) $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente no ponto $ (2, -51) $. Isso significa encontrar a derivada de $ f $ em $ x = 2 $ usando o limite:
Substituindo os valores:
Então, a expressão do limite fica:
Simplificando o numerador:
Agora, temos:
Para resolver esse limite, podemos fatorar o numerador:
Então, substituindo:
Portanto, o coeficiente angular é $ -14 $.
Passo 4
Por fim, vamos determinar a equação da reta tangente no ponto $ (2, -51) $ com coeficiente angular $ m = -14 $.
A equação geral da reta é:
Sabemos que a reta passa pelo ponto $ (2, -51) $. Vamos substituir para encontrar $ b $:
Então, a equação da reta tangente é:
Resposta
(i) O ponto é $ (2, -51) $.
(ii) O coeficiente angular da reta tangente é $ -14 $.
(iii) A equação da reta tangente é $ y = -14x - 23 $.