Resolva a equação
d yd t+12 y=12 e^t3
e encontre a solução particular cujo gráfico contém o ponto (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
dydt + 12y = 12 e^t3
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Além disso, queremos encontrar a solução que passa pelo ponto (0,1).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. Podemos reescrever a equação no formato padrão:
dydt + P(t)y = Q(t)
Onde:
P(t) = 12 e Q(t) = 12 e^t3

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 12 dt = e^12t
Esse fator vai nos ajudar a resolver a equação de forma mais simples.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^12t cdot dydt + e^12t cdot 12y = e^12t cdot 12 e^t3
Simplificando, obtemos:
ddt( y cdot e^12t ) = 12 e^t3 + 12t

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
t
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Calculando a integral:
integral e^56t dt = 65 e^56t + C
Substituindo de volta:
y cdot e^12t = 12 cdot 65 e^56t + C
Simplificando:
y cdot e^12t = 35 e^56t + C

Passo 7

Isolando $ y $:
y
Simplificando os expoentes:
y = 35 e^56t cdot e^-12t + C e^-12t

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ C $:
y(0) = 1
Então:
C

Resposta

A solução particular da equação é:
y(t) = 35 e^t3 + 25 e^-12t

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