Resolva a equação
e encontre a solução particular cujo gráfico contém o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Além disso, queremos encontrar a solução que passa pelo ponto (0,1).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. Podemos reescrever a equação no formato padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a resolver a equação de forma mais simples.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando, obtemos:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Calculando a integral:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 7
Isolando $ y $:
Simplificando os expoentes:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ C $:
Então:
Resposta
A solução particular da equação é: