Questão 14. Use o Critério da Integral para provar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}
é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}
é convergente, usando o Critério da Integral.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a série é a soma dos termos \dfrac{1}{n^{2}+1} para n=1,2,3,\dots. Não há outras restrições ou dados numéricos adicionais.

Passo 2

Vou lembrar e explicar o que é o Critério da Integral (também chamado de teste integral) porque é a ferramenta que o enunciado exige. O enunciado pede que a usemos, então precisamos saber quando podemos aplicá‑lo e o que ele garante.
O Critério da Integral diz o seguinte (versão prática para provas): se f é uma função positiva, contínua e monotonicamente decrescente em [1,\infty) e a_n = f(n) para todo n\ge1, então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n e a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Por que isso funciona, intuitivamente? A soma dos retângulos de base 1 e altura f(n) (os retângulos com base [n,n+1] e altura f(n)) fica entre as áreas \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx e \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx quando f é decrescente. Isso permite comparar soma e integral. Em prova, normalmente verificamos as hipóteses (positiva, contínua, decrescente) e calculamos a integral imprópria; se for finita, a série converge.

Passo 3

Aplicando isso à nossa série, defino a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}+1},\qquad x\ge1.
Agora vou verificar as hipóteses do Critério da Integral para f:
  1. Positividade: para todo x\ge1 temos x^{2}+1>0, logo f(x)>0. Portanto é positiva.
  2. Continuidade: a função f(x)=1/(x^{2}+1) é quociente de polinômios com denominador não nulo para todo x, logo é contínua em [1,\infty).
  3. Monotonicidade decrescente: para mostrar que f é decrescente em [1,\infty) vou calcular a derivada e checar o sinal.

Passo 4

Calculo da derivada de f. Usando regra do quociente (ou sabendo que (x^{2}+1)^{-1} deriva como -1\cdot(x^{2}+1)^{-2}\cdot 2x), obtemos
f'(x)=\frac{d}{dx}\left((x^{2}+1)^{-1}\right) = -\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Para x\ge1 temos 2x>0 e (x^{2}+1)^{2}>0, portanto f'(x)<0 para todo x\ge1. Isso mostra que f é estritamente decrescente em [1,\infty).
Como todas as hipóteses do Critério da Integral estão satisfeitas (positiva, contínua, decrescente e a_n=f(n)), podemos aplicar o critério.

Passo 5

Agora calculo a integral imprópria associada:
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1} = \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{2}+1}.
A primitiva de 1/(x^{2}+1) é \arctan x, porque \dfrac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\dfrac{1}{x^{2}+1}. Assim
\int_{1}^{b}\frac{dx}{x^{2}+1} = \big[\arctan x\big]_{1}^{b} = \arctan b - \arctan 1.
Agora tomo o limite quando b\to\infty. Sabemos que \displaystyle\lim_{t\to\infty}\arctan t = \frac{\pi}{2} (é um limite padrão: arco-tangente tende a \pi/2 quando o argumento vai para +\infty). E \arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}. Logo
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4},
que é um número finito.

Passo 6

Conclusão pelo Critério da Integral: como \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+1}=\dfrac{\pi}{4}<\infty e porque f(x)=1/(x^{2}+1) é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty) e a_n=f(n), o Critério da Integral garante que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}
converge.
Dica prática para a prova (um comentário rápido): muitas vezes é ainda mais rápido usar comparação com a série p (aqui \dfrac{1}{n^{2}+1}\le \dfrac{1}{n^{2}} para n\ge1 e \sum 1/n^{2} é convergente), mas como o enunciado pediu o Critério da Integral, usei-o passo a passo. Força aí — você está indo bem!

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1} é convergente.

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