Questão 14. Use o Critério da Integral para provar que a série
é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a série
é convergente, usando o Critério da Integral.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a série é a soma dos termos para
. Não há outras restrições ou dados numéricos adicionais.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a série é a soma dos termos
Passo 2
Vou lembrar e explicar o que é o Critério da Integral (também chamado de teste integral) porque é a ferramenta que o enunciado exige. O enunciado pede que a usemos, então precisamos saber quando podemos aplicá‑lo e o que ele garante.
O Critério da Integral diz o seguinte (versão prática para provas): se
é uma função positiva, contínua e monotonicamente decrescente em
e
para todo
, então a série
e a integral imprópria
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Por que isso funciona, intuitivamente? A soma dos retângulos de base
e altura
(os retângulos com base
e altura
) fica entre as áreas
e
quando
é decrescente. Isso permite comparar soma e integral. Em prova, normalmente verificamos as hipóteses (positiva, contínua, decrescente) e calculamos a integral imprópria; se for finita, a série converge.
Passo 3
Aplicando isso à nossa série, defino a função
Agora vou verificar as hipóteses do Critério da Integral para
:
-
Positividade: para todo
temos , logo . Portanto é positiva. -
Continuidade: a função
é quociente de polinômios com denominador não nulo para todo , logo é contínua em . -
Monotonicidade decrescente: para mostrar que
é decrescente em vou calcular a derivada e checar o sinal.
Passo 4
Calculo da derivada de
. Usando regra do quociente (ou sabendo que
deriva como
), obtemos
Para
temos
e
, portanto
para todo
. Isso mostra que
é estritamente decrescente em
.
Como todas as hipóteses do Critério da Integral estão satisfeitas (positiva, contínua, decrescente e
), podemos aplicar o critério.
Passo 5
Agora calculo a integral imprópria associada:
A primitiva de
é
, porque
. Assim
Agora tomo o limite quando
. Sabemos que
(é um limite padrão: arco-tangente tende a
quando o argumento vai para
). E
. Logo
que é um número finito.
Passo 6
Conclusão pelo Critério da Integral: como
e porque
é positiva, contínua e decrescente em
e
, o Critério da Integral garante que a série
converge.
Dica prática para a prova (um comentário rápido): muitas vezes é ainda mais rápido usar comparação com a série p (aqui
para
e
é convergente), mas como o enunciado pediu o Critério da Integral, usei-o passo a passo. Força aí — você está indo bem!
Resposta
A série
é convergente.