Verifique se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty(log nn)^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^inftyl(ln nnr)^n
O conteúdo principal aqui são testes de convergência para séries de termos positivos. Neste caso vamos usar o critério da raiz.

Passo 2

O critério da raiz diz que, para uma série de termos an>=0, se
rho = limsupntoinfty raiz[n]an
satisfaz rho<1, então a série converge. Se rho>1 diverge, e se rho=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui an=l(tfracln nnr)^n. Calculamos
raiz[n]an =ln nn
Agora basta achar o limite dessa expressão quando ntoinfty:
limntoinftyln nn =0,
pois o log cresce muito mais devagar que a linha n.

Passo 4

Como
rho = limsupntoinfty raiz[n]an =0<1,
pelo critério da raiz a série converge absolutamente (e portanto converge).

Resposta

A série sumn=1^inftyl(tfracln nnr)^n converge.

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