Questão 4.(12) Encontre a solução para a equação da onda abaixo.
\begin{cases}u_{t t}=4 u_{x x} & \text { se } 0<x<1 \text { e } t>0 \\\ u(0, t)=u(L, t)=0 & \text { se } t \geq 0 \\\ u(x, 0)= \begin{cases}0, & \text { se } 0 \leq x<1 / 2, \\\\ 10, & \text { se } 1 / 2<x \leq 1 .\end{cases} \\\ u_{t}(x, 0)=e^{x} & \text { se } 0 \leq x \leq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a equação da onda
u_{tt} = 4\,u_{xx},\quad 0<x<1,\;t>0
com condições de contorno fixas
u(0,t)=u(1,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=f(x)= \begin{cases} 0, & 0\le x<\tfrac12,\\\\ 10, & \tfrac12<x\le1, \end{cases} \quad u_t(x,0)=g(x)=e^x.
O conteúdo é a solução por série de Fourier em senos (modos normais), com velocidade de onda c=2. Vamos usar separação de variáveis e expansão em autovetores \sin(n\pi x).

Passo 2

Resolvendo o problema de autovalores em 0<x<1 com \varphi(0)=\varphi(1)=0, obtemos
\phi_n(x)=\sin(n\pi x), \quad \lambda_n=(n\pi)^2, \quad \omega_n = c\,n\pi = 2n\pi.
Logo, a solução geral é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \Bigl[ \alpha_n\cos(2n\pi t) +\beta_n\sin(2n\pi t) \Bigr] \sin(n\pi x).

Passo 3

Impondo u(x,0)=f(x) e usando ortogonalidade dos senos,
\alpha_n =2\int_{0}^{1}f(x)\,\sin(n\pi x)\,dx =2\cdot10\int_{1/2}^{1}\sin(n\pi x)\,dx.
Calculando
\int_{1/2}^{1}\sin(n\pi x)\,dx =\Bigl[-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{1/2}^{1} =\frac{\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)-(-1)^n}{n\pi},
segue
\alpha_n =\frac{20}{n\pi} \Bigl(\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)-(-1)^n\Bigr).

Passo 4

Impondo u_t(x,0)=g(x)=e^x,
u_t(x,0) =\sum_{n=1}^\infty \beta_n\,(2n\pi)\,\sin(n\pi x) = g(x),
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\beta_n =\frac{2}{2n\pi}\int_{0}^{1}e^x\sin(n\pi x)\,dx =\frac{1}{n\pi}\int_{0}^{1}e^x\sin(n\pi x)\,dx.
Usando a fórmula
\int e^x\sin(bx)\,dx =\frac{e^x\bigl(\sin(bx)-b\cos(bx)\bigr)}{1+b^2},
com b=n\pi, obtém-se
\int_{0}^{1}e^x\sin(n\pi x)\,dx =\frac{n\pi}{1+n^2\pi^2}\bigl(1+e(-1)^{n+1}\bigr),
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\beta_n =\frac{1+e\,(-1)^{n+1}}{1+n^2\pi^2}.

Passo 5

Substituindo \alpha_n e \beta_n na série, a solução final é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \frac{20}{n\pi}\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)-(-1)^n\Bigr) \cos(2n\pi t) +\frac{1+e\,(-1)^{n+1}}{1+n^2\pi^2}\, \sin(2n\pi t) \Biggr] \sin(n\pi x).

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \frac{20}{n\pi}\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)-(-1)^n\Bigr) \cos(2n\pi t) +\frac{1+e\,(-1)^{n+1}}{1+n^2\pi^2} \sin(2n\pi t) \Biggr] \sin(n\pi x).

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