Questão 3.(9) Utilizando o método de variação de parâmetros encontre a solução para o problema abaixo:
\begin{cases}u_{t}=u_{x x}+x e^{\pi^{2} t} & \text { se } 0<x<1 \text { e } t>0 \\\ u(0, t)=u(1, t)=0 & \text { se } t \geq 0 \\\ u(x, 0)=x & \text { se } 0 \leq x \leq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de contorno não homogêneo
\begin{cases} u_{t}=u_{xx}+x\,e^{\pi^{2}t},&0<x<1,\;t>0,\\\ u(0,t)=u(1,t)=0,&t\ge0,\\\ u(x,0)=x,&0\le x\le1, \end{cases}
e pede a solução usando método de variação de parâmetros (ou variação de constantes) aplicado à expansão em autofunções de Dirichlet. Vamos expandir em senos, resolver a EDO para cada coeficiente e depois recompor u(x,t).

Passo 2

Supomos
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}T_{n}(t)\,\sin(n\pi x).
Então
u_{t}=\sum_{n=1}^{\infty}T_{n}'(t)\,\sin(n\pi x), \quad u_{xx}=\sum_{n=1}^{\infty}-(n\pi)^{2}T_{n}(t)\,\sin(n\pi x).
A não-homogeneidade é f(x,t)=x\,e^{\pi^{2}t}, que também expandimos em senos:
f(x,t)=e^{\pi^{2}t}\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin(n\pi x).
Igualando coeficientes de \sin(n\pi x) na PDE, obtemos para cada n a EDO
T_{n}'(t)+(n\pi)^{2}T_{n}(t)=B_{n}\,e^{\pi^{2}t}.

Passo 3

Precisamos de B_{n} da expansão
x=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin(n\pi x), \quad B_{n}=2\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx.
Fazendo integração por partes, encontra-se
\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx =\frac{(-1)^{\,n+1}}{n\pi},
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B_{n}=2\,\frac{(-1)^{\,n+1}}{n\pi}.

Passo 4

Para resolver
T_{n}'+(n\pi)^{2}T_{n}=B_{n}\,e^{\pi^{2}t},
usamos fator integrante \exp((n\pi)^{2}t). Temos
\frac{d}{dt}\bigl(T_{n}e^{(n\pi)^{2}t}\bigr) =B_{n}\,e^{\pi^{2}t}e^{(n\pi)^{2}t} =B_{n}\,e^{[(n\pi)^{2}+\pi^{2}]t}.
Integrando de 0 a t:
T_{n}(t)e^{(n\pi)^{2}t} =T_{n}(0) +\int_{0}^{t}B_{n}\,e^{[(n\pi)^{2}+\pi^{2}]s}\,ds.
Como T_{n}(0) vem da condição inicial u(x,0)=x, temos T_{n}(0)=B_{n}. Assim
T_{n}(t)e^{(n\pi)^{2}t} =B_{n} +\frac{B_{n}}{(n\pi)^{2}+\pi^{2}}\bigl(e^{[(n\pi)^{2}+\pi^{2}]t}-1\bigr).
Dividindo por e^{(n\pi)^{2}t}:
T_{n}(t) =B_{n}\,e^{-(n\pi)^{2}t} +\frac{B_{n}}{(n\pi)^{2}+\pi^{2}}\Bigl(e^{\pi^{2}t}-e^{-(n\pi)^{2}t}\Bigr).

Passo 5

Reconstituindo
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}T_{n}(t)\,\sin(n\pi x) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ B_{n}\,e^{-(n\pi)^{2}t} +\frac{B_{n}}{(n\pi)^{2}+\pi^{2}}\bigl(e^{\pi^{2}t}-e^{-(n\pi)^{2}t}\bigr) \Bigr]\sin(n\pi x),
com B_{n}=2(-1)^{n+1}/(n\pi). Essa soma é a solução explícita do problema.

Resposta

\boxed{ u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}\,e^{-(n\pi)^{2}t}\,\sin(n\pi x) \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi\bigl((n\pi)^{2}+\pi^{2}\bigr)} \bigl(e^{\pi^{2}t}-e^{-(n\pi)^{2}t}\bigr)\,\sin(n\pi x). }

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