Questão 3.(9) Utilizando o método de variação de parâmetros encontre a solução para o problema abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de contorno não homogêneo
e pede a solução usando método de variação de parâmetros (ou variação de constantes) aplicado à expansão em autofunções de Dirichlet. Vamos expandir em senos, resolver a EDO para cada coeficiente e depois recompor
.
Passo 2
Supomos
Então
A não-homogeneidade é
, que também expandimos em senos:
Igualando coeficientes de
na PDE, obtemos para cada
a EDO
Passo 3
Precisamos de
da expansão
Fazendo integração por partes, encontra-se
logo
Passo 4
Para resolver
usamos fator integrante
. Temos
Integrando de
a
:
Como
vem da condição inicial
, temos
. Assim
Dividindo por
:
Passo 5
Reconstituindo
com
. Essa soma é a solução explícita do problema.