Questão 2. (5) Supondo que a solução possa ser escrita como uma solução estacionária e uma solução transiente. Encontre a solução estacionária, escreva o problema que a solução transiente deve satisfazer e encontre a solução transiente.
\begin{cases}u_{t}=u_{x x} & \text { se } 0<x<1 \text { e } t>0 \\\ u(0, t)=u(1, t)=100 & \text { se } t \geq 0 \\\ u(x, 0)=x\left(x^{2}-100\right) & \text { se } 0 \leq x \leq 1\end{cases}
supondo que u(x,t)=v(x)+w(x,t), onde v é estacionária (independe de t) e w é transiente. Vamos usar o princípio de decompor em parte estacionária (que satisfaz as condições de contorno) e parte transiente (com contorno homogêneo) e então resolver por separação de variáveis e séries de senos.
Passo 2
A solução estacionária v(x) deve satisfazer
v''(x)=0,\quad v(0)=100,\quad v(1)=100.
Integrando v''=0 obtém-se v(x)=Ax+B. As condições de contorno dão
Para resolver w_{t}=w_{xx} com w(0,t)=w(1,t)=0 e dado inicial f(x)=x^{3}-100x-100, usamos separação de variáveis e a base de autovalores do problema de Sturm–Liouville em (0,1). Os modos são \sin(n\pi x) com autovalores \lambda_{n}=(n\pi)^{2}. A expansão em série é