Considere uma função contínua
. Usando coordenadas polares temos que a integral dupla
é transformada em:
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma função contínua
. - A integral dupla
O que foi afirmado para ser mostrado é que, em coordenadas polares, isso se transforma em
Passo 2
Vamos entender bem a região de integração em coordenadas cartesianas. Denote
.
- As fronteiras de
são a reta (eixo ), a reta e a reta vertical . - A reta
tem inclinação , então o ângulo que essa reta faz com o eixo satisfaz . Logo
- Portanto os raios a partir da origem que permanecem dentro da região
têm ângulo variando de até .
Passo 3
Agora achamos os limites em
para um ângulo fixo
.
- Em coordenadas polares temos as relações
. - A fronteira vertical
corresponde a , isto é
- A origem corresponde a
. Assim, para cada o raio varia de até .
Passo 4
Explicando a mudança de variáveis (a parte técnica que sempre aparece em provas):
- A transformação
é dada por
- O elemento de área
transforma-se em . Isto vem do determinante da matriz jacobiana da transformação polar; em palavras: pequenos retângulos em viram elementos com área aproximada . - Como
é contínua (logo integrável) e a transformação é regular no interior da região, a mudança de variáveis é permitida pelo teorema de mudança de variáveis para integrais duplas.
Passo 5
Transformando o integrando:
- Observe que
em coordenadas polares. - Então o integrando
fica simplesmente . - Multiplicando pelo jacobiano
e usando os limites achados, obtemos
Passo 6
Um pequeno cheque de consistência (útil em prova para ganhar confiança): se
então a integral deve dar a área da região
.
- Pela integral polar:
- Pela geometria,
é um triângulo de base e altura , então sua área é . Concorda — bom sinal.