Considere uma função contínua g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}. Usando coordenadas polares temos que a integral dupla
I=\int_{0}^{1} \int_{0}^{x / \sqrt{3}} g\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d y d x
é transformada em:
I=\int_{0}^{\pi / 6} \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta}} g(r, r) r d r d \theta.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma função contínua g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}.
  • A integral dupla
I=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x/\sqrt{3}} g\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}},\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)\,dy\,dx.
O que foi afirmado para ser mostrado é que, em coordenadas polares, isso se transforma em
I=\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{\frac{1}{\cos\theta}} g(r,r)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Vamos entender bem a região de integração em coordenadas cartesianas. Denote R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le x/\sqrt{3}\}.
  • As fronteiras de R são a reta y=0 (eixo x), a reta y=\dfrac{x}{\sqrt{3}} e a reta vertical x=1.
  • A reta y=\dfrac{x}{\sqrt{3}} tem inclinação \dfrac{1}{\sqrt{3}}, então o ângulo \theta que essa reta faz com o eixo x satisfaz \tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Logo
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{\pi}{6}.
  • Portanto os raios a partir da origem que permanecem dentro da região R têm ângulo \theta variando de 0 até \pi/6.

Passo 3

Agora achamos os limites em r para um ângulo fixo \theta\in[0,\pi/6].
  • Em coordenadas polares temos as relações \;x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta.
  • A fronteira vertical x=1 corresponde a r\cos\theta=1, isto é
r=\dfrac{1}{\cos\theta}.
  • A origem corresponde a r=0. Assim, para cada \theta\in[0,\pi/6] o raio r varia de 0 até \dfrac{1}{\cos\theta}.

Passo 4

Explicando a mudança de variáveis (a parte técnica que sempre aparece em provas):
  • A transformação (x,y)\mapsto(r,\theta) é dada por
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
  • O elemento de área dx\,dy transforma-se em r\,dr\,d\theta. Isto vem do determinante da matriz jacobiana da transformação polar; em palavras: pequenos retângulos em (x,y) viram elementos com área aproximada r\,dr\,d\theta.
  • Como g é contínua (logo integrável) e a transformação é regular no interior da região, a mudança de variáveis é permitida pelo teorema de mudança de variáveis para integrais duplas.

Passo 5

Transformando o integrando:
  • Observe que \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r em coordenadas polares.
  • Então o integrando g\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}},\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big) fica simplesmente g(r,r).
  • Multiplicando pelo jacobiano r e usando os limites achados, obtemos
I=\int_{\theta=0}^{\pi/6}\int_{r=0}^{1/\cos\theta} g(r,r)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Um pequeno cheque de consistência (útil em prova para ganhar confiança): se g\equiv 1 então a integral deve dar a área da região R.
  • Pela integral polar:
\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{1/\cos\theta} r\,dr\,d\theta =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/6}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta =\tfrac{1}{2}\big[\tan\theta\big]_{0}^{\pi/6} =\tfrac{1}{2}\tan\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) =\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}.
  • Pela geometria, R é um triângulo de base 1 e altura 1/\sqrt{3}, então sua área é \tfrac{1}{2}\cdot1\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}. Concorda — bom sinal.

Resposta

I=\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{\frac{1}{\cos\theta}} g(r,r)\,r\,dr\,d\theta

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