Questão 12 -

O modelo de Drude é uma descrição simplificada do comportamento da condutividade elétrica de um metal, o. Este modelo calcula a condutividade do metal em função do número de elétrons livres por unidade de volume, n , a carga elementar, e , a massa do elétron, \mathrm{m}_{\mathrm{e}} \mathrm{e} o tempo de relaxação, \tau, que é o tempo médio entre as colisões dos elétrons que ocorrem à medida que o elétron se move no material. Além disso, é possível ainda calcular o número de elétrons livres por unidade de volume em função do número de Avogadro, \mathrm{N}_{\mathrm{a}}, da massa molar, A, da densidade do material, \rho, e do número de elétrons de valência do átomo, Z. Assinale a alternativa que melhor expressa a condutividade elétrica em função das grandezas físicas expostas.
a) \sigma=\frac{N_{a} Z \rho e^{2} T}{m_{e} A}.
b) \sigma=\frac{N_{a} \rho e^{2} T}{Z m_{e} A}.
c) \sigma=\frac{N_{a} Z A e^{2} T}{m_{e} \rho}.
d) \sigma=\frac{N_{a} A e^{2} T}{Z m_{e} \rho}
e) \sigma=\frac{N_{a} Z A e t^{2}}{m_{e} \rho}.

Passo 1

O enunciado pede a condutividade elétrica \sigma de um metal segundo o modelo de Drude, em função de:
– número de Avogadro N_{A},
– densidade do material \rho,
– massa molar A,
– número de elétrons de valência Z,
– carga elementar e,
– massa do elétron m_{e},
– tempo de relaxação \tau.
Sabemos que a fórmula geral do modelo de Drude é dada por \sigma = n e^{2}\tau / m_{e}, onde n é o número de elétrons livres por volume.

Passo 2

Determine a expressão de n em função de N_{A}, \rho, A e Z. Num mol de átomo há N_{A} átomos, com massa total A g, ocupando volume V = A/\rho. Cada átomo contribui com Z elétrons livres, logo
n = \frac{\text{número de elétrons}}{\text{volume}} = \frac{N_{A}\,Z}{V} = \frac{N_{A}\,Z}{A/\rho} = \frac{N_{A}\,\rho\,Z}{A}.úé

Passo 3

Substitua n na fórmula de \sigma. Temos
\sigma = \frac{n\,e^{2}\,\tau}{m_{e}} = \frac{\bigl(N_{A}\,\rho\,Z / A\bigr)\,e^{2}\,\tau}{m_{e}} = \frac{N_{A}\,Z\,\rho\,e^{2}\,\tau}{m_{e}\,A}.

Resposta

a) \displaystyle \sigma = \frac{N_{A}\,Z\,\rho\,e^{2}\,\tau}{m_{e}\,A}.

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