Questão 13 -

Em uma pirâmide hexagonal regular, todas as 12 arestas são substituídas por resistores iguais a R. Assinale a alternativa com a resistência equivalente entre um vértice qualquer da base da pirâmide e o vértice da pirâmide.
a) 3 R / 8.
b) 7 R / 8.
c) 7 R / 22.
d) 9 R / 11.
e) 9 R / 20.

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide de base hexagonal regular cujas 12 arestas são resistores iguais a R. Queremos achar a resistência equivalente entre um vértice qualquer da base (chamado de V_0) e o vértice da pirâmide (ápice, chamado de P). O conteúdo envolve análise de circuito com simetria e método de potenciais nodais (Kirchhoff).

Passo 2

Devido à simetria, agrupamos os vértices da base em quatro tipos de potenciais: \;V_0=0 (ponto de referência), \;V_1=V_5=x (vértices vizinhos de V_0), \;V_2=V_4=y (vértices a dois passos de V_0), \;V_3=z (o oposto a V_0), \;V_P = V_p.
Para simplificar, tomamos temporariamente R=1 e depois multiplicamos por R.

Passo 3

Aplicando Kirchhoff em V_1 (idem V_5), as correntes somam zero:
(x - V_p) + (x - 0) + (x - y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x - y = V_p.
Em V_2 (idem V_4):
(y - V_p) + (y - x) + (y - z) = 0 \quad\Longrightarrow\quad -\,x + 3y - z = V_p.
Em V_3:
(z - V_p) + (z - y) + (z - y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3z - 2y = V_p.

Passo 4

No nó P a corrente injetada I é a soma das correntes pelos seis ramos:
I = \sum_{i=0}^5 (V_p - V_i) =6V_p - \bigl(V_0 +2x+2y+z\bigr) =6V_p - (0 + 2x + 2y + z).

Passo 5

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 3x - y = V_p,\\\\ -\,x + 3y - z = V_p,\\\\ -\,2y + 3z = V_p, \end{cases}
acha-se
x = \tfrac{11}{18}V_p,\quad y = \tfrac{5}{6}V_p,\quad z = \tfrac{8}{9}V_p.
Substituindo em I=6V_p-2x-2y-z
I = \frac{20}{9}\,V_p.

Passo 6

A resistência equivalente (com R=1) é
R_{\rm eq} = \frac{V_p}{I} = \frac{V_p}{\tfrac{20}{9}V_p} = \frac{9}{20}.
Voltando a R genérico, R_{\rm eq} = \tfrac{9}{20}R.

Resposta

e) \displaystyle \frac{9R}{20}

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