Questão 12. (Morettin) Em uma caixa há 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Duas bolas são retiradas sucessivamente e sem reposição. Calcule a probabilidade de:
(a) A primeira ser branca e a segunda ser preta.
(b) A segunda bola ser preta.
(a) A primeira ser branca e a segunda ser preta.
(b) A segunda bola ser preta.
Passo 1
O enunciado dá estas informações:
- Há
bolas brancas e bolas pretas numa caixa, logo o total inicial é bolas. - Retiram-se duas bolas sucessivamente e sem reposição (ou seja, a primeira retirada altera a composição para a segunda).
O enunciado pede:
(a) a probabilidade de a primeira bola ser branca e a segunda ser preta;
(b) a probabilidade de a segunda bola ser preta.
Passo 2
Vamos lembrar a ferramenta principal que usamos aqui: a regra da probabilidade composta (multiplicação) e probabilidade condicional.
- Se
e são dois eventos, a probabilidade de ambos ocorrerem é
onde
é a probabilidade de
ocorrer dado que
já ocorreu.
Explicando em palavras: primeiro calculo a chance do evento ; depois, assumindo que
aconteceu, calculo a chance de
na nova situação; multiplico os dois números.
Explicando em palavras: primeiro calculo a chance do evento
- Para organizar os eventos aqui, defino:
-
= “primeira bola é branca”; -
= “primeira bola é preta”; -
= “segunda bola é preta”.
-
Vamos aplicar isso passo a passo. Cada probabilidade será representada por uma fração contando quantas bolas favoráveis sob o total disponível no momento.
Passo 3
Calcular (a):
.
- Antes de qualquer retirada, a probabilidade da primeira ser branca é
pois há
brancas entre
bolas.
- Se a primeira foi branca, sobra na caixa
brancas e pretas, total bolas. Então a probabilidade da segunda ser preta dado que a primeira foi branca é
- Multiplicando pela regra da probabilidade composta:
Agora simplifico passo a passo:
Dividindo numerador e denominador por
:
Portanto a resposta do item (a) é
(aprox.
).
Passo 4
Calcular (b): queremos
, a probabilidade de a segunda bola ser preta, independentemente do que aconteceu na primeira. Uma maneira direta é usar a fórmula da probabilidade total, particionando pelo que ocorreu na primeira retirada:
-
Já sabemos
. Também . -
Se a primeira foi branca, como calculado antes,
. -
Se a primeira foi preta, após essa retirada restam
brancas e pretas, total ; então
- Substituindo na fórmula:
Calculo passo a passo:
Simplificando dividindo por
:
Passo 5
Um argumento alternativo, mais curto e muito útil para provas, explica intuitivamente o mesmo resultado para (b): sem reposição as duas bolas retiradas formam uma sequência aleatória das
bolas; portanto, cada posição (primeira, segunda, …) é simetricamente ocupada por uma bola escolhida aleatoriamente entre as
. Assim, a probabilidade da bola que estiver na segunda posição ser preta é simplesmente a fração inicial de pretas:
Esse raciocínio de simetria evita calcular condicionais e é ótimo para ganhar tempo na prova. Ambos os métodos (probabilidade total ou simetria) chegam ao mesmo resultado.
Resposta
(a)
(b)
(b)