Questão 12. (Morettin) Em uma caixa há 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Duas bolas são retiradas sucessivamente e sem reposição. Calcule a probabilidade de:
(a) A primeira ser branca e a segunda ser preta.
(b) A segunda bola ser preta.

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • 4 bolas brancas e 6 bolas pretas numa caixa, logo o total inicial é 10 bolas.
  • Retiram-se duas bolas sucessivamente e sem reposição (ou seja, a primeira retirada altera a composição para a segunda).
    O enunciado pede:
    (a) a probabilidade de a primeira bola ser branca e a segunda ser preta;
    (b) a probabilidade de a segunda bola ser preta.

Passo 2

Vamos lembrar a ferramenta principal que usamos aqui: a regra da probabilidade composta (multiplicação) e probabilidade condicional.
  • Se A e B são dois eventos, a probabilidade de ambos ocorrerem é
P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\,P(B\mid A),
onde P(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer dado que A já ocorreu.
Explicando em palavras: primeiro calculo a chance do evento A; depois, assumindo que A aconteceu, calculo a chance de B na nova situação; multiplico os dois números.
  • Para organizar os eventos aqui, defino:
    • W_1 = “primeira bola é branca”;
    • B_1 = “primeira bola é preta”;
    • B_2 = “segunda bola é preta”.
Vamos aplicar isso passo a passo. Cada probabilidade será representada por uma fração contando quantas bolas favoráveis sob o total disponível no momento.

Passo 3

Calcular (a): P(W_1\\ \text{e}\\ B_2)=P(W_1)\,P(B_2\mid W_1).
  • Antes de qualquer retirada, a probabilidade da primeira ser branca é
P(W_1)=\frac{4}{10},
pois há 4 brancas entre 10 bolas.
  • Se a primeira foi branca, sobra na caixa 3 brancas e 6 pretas, total 9 bolas. Então a probabilidade da segunda ser preta dado que a primeira foi branca é
P(B_2\mid W_1)=\frac{6}{9}.
  • Multiplicando pela regra da probabilidade composta:
P(W_1\\ \text{e}\\ B_2)=\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}.
Agora simplifico passo a passo:
\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}=\frac{24}{90}.
Dividindo numerador e denominador por 6:
\frac{24}{90}=\frac{4}{15}.
Portanto a resposta do item (a) é \dfrac{4}{15} (aprox. 0,2666\ldots).

Passo 4

Calcular (b): queremos P(B_2), a probabilidade de a segunda bola ser preta, independentemente do que aconteceu na primeira. Uma maneira direta é usar a fórmula da probabilidade total, particionando pelo que ocorreu na primeira retirada:
P(B_2)=P(W_1)\,P(B_2\mid W_1)+P(B_1)\,P(B_2\mid B_1).
  • Já sabemos P(W_1)=\dfrac{4}{10}. Também P(B_1)=\dfrac{6}{10}.
  • Se a primeira foi branca, como calculado antes, P(B_2\mid W_1)=\dfrac{6}{9}.
  • Se a primeira foi preta, após essa retirada restam 4 brancas e 5 pretas, total 9; então
P(B_2\mid B_1)=\frac{5}{9}.
  • Substituindo na fórmula:
P(B_2)=\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}+\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}.
Calculo passo a passo:
P(B_2)=\frac{24}{90}+\frac{30}{90}=\frac{54}{90}.
Simplificando dividindo por 18:
\frac{54}{90}=\frac{3}{5}=0,6.

Passo 5

Um argumento alternativo, mais curto e muito útil para provas, explica intuitivamente o mesmo resultado para (b): sem reposição as duas bolas retiradas formam uma sequência aleatória das 10 bolas; portanto, cada posição (primeira, segunda, …) é simetricamente ocupada por uma bola escolhida aleatoriamente entre as 10. Assim, a probabilidade da bola que estiver na segunda posição ser preta é simplesmente a fração inicial de pretas:
P(B_2)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.
Esse raciocínio de simetria evita calcular condicionais e é ótimo para ganhar tempo na prova. Ambos os métodos (probabilidade total ou simetria) chegam ao mesmo resultado.

Resposta

(a) \dfrac{4}{15}
(b) \dfrac{3}{5}

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