Questão 6. (Morettin) Considere o conjunto de dados: 3,5,7,9,11,13,15.
(a) Calcule a variância e o desvio padrão.
(b) Calcule o coeficiente de variação. O que esse valor indica sobre a homogeneidade dos dados?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (peguei os números do enunciado): os valores são
\;3,5,7,9,11,13,15.
O enunciado pede:
(a) Calcular a variância e o desvio padrão.
(b) Calcular o coeficiente de variação e interpretar o que esse valor indica sobre a homogeneidade dos dados.

Passo 2

Calcular a média aritmética (centro dos dados). Vou usar a fórmula da média amostral/populacional, que é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média e n é o número de observações. Aqui n=7.
Vou somar os dados (tudo em TeX):
3+5+7+9+11+13+15 = 63.
Portanto
\bar{x}=\frac{63}{7}=9.
Explicando: \bar{x}=9 significa que o “centro” aritmético dos sete números é 9.

Passo 3

Calcular as diferenças em relação à média e seus quadrados. Para cada observação x_i calculo x_i-\bar{x} e (x_i-\bar{x})^2.
Listei abaixo (cada tripla na forma x_i,\;x_i-\bar{x},\;(x_i-\bar{x})^2):
\begin{aligned} &3,\;3-9=-6,\;(-6)^2=36,\\\ &5,\;5-9=-4,\;(-4)^2=16,\\\ &7,\;7-9=-2,\;(-2)^2=4,\\\ &9,\;9-9=0,\;0^2=0,\\\ &11,\;11-9=2,\;2^2=4,\\\ &13,\;13-9=4,\;4^2=16,\\\ &15,\;15-9=6,\;6^2=36. \end{aligned}
Somando os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{7}(x_i-\bar{x})^2 = 36+16+4+0+4+16+36 = 112.

Passo 4

Variância e desvio padrão populacionais (quando se trata da população inteira).
Fórmula da variância populacional:
\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2,
onde \sigma^2 é a variância populacional, N é o tamanho da população e \mu é a média populacional. Aqui, tratando os 7 valores como a população, N=7 e \mu=\bar{x}=9.
Aplicando:
\sigma^2 = \frac{112}{7} = 16.
O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{16} = 4.
Interpretação rápida: em média (em termos quadráticos) os valores se afastam 4 unidades da média quando tratamos os dados como população.

Passo 5

Variância e desvio padrão amostrais (quando os dados são uma amostra da população).
Fórmula da variância amostral (com correção de Bessel):
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
onde s^2 é a variância amostral e n é o tamanho da amostra. A correção por n-1 é usada porque \bar{x} foi estimada a partir da amostra, o que reduz graus de liberdade.
Aplicando com n=7:
s^2 = \frac{112}{7-1} = \frac{112}{6} = \frac{56}{3} \approx 18{,}6667.
O desvio padrão amostral é
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{56}{3}} \approx 4{,}3205.
Resumo: variância amostral s^2=\dfrac{56}{3} e s\approx4{,}3205.

Passo 6

Coeficiente de variação (medida relativa de dispersão).
Definição: o coeficiente de variação é
CV = \frac{\text{desvio padrão}}{\text{média}}\times 100\%,ãé
onde “desvio padrão” pode ser populacional ( \sigma) ou amostral ( s), conforme o contexto. Ele mede a variabilidade relativa em porcentagem da média.
Calculei ambos os casos:
Usando desvio populacional:
CV_{\text{pop}} = \frac{\sigma}{\bar{x}}\times100\% = \frac{4}{9}\times100\% \approx 44{,}44\%.
Usando desvio amostral:
CV_{\text{amostra}} = \frac{s}{\bar{x}}\times100\% = \frac{4{,}3205}{9}\times100\% \approx 48{,}01\%.

Passo 7

Interpretação do coeficiente de variação (o que indica sobre a homogeneidade dos dados)
  • O coeficiente de variação compara dispersão com a escala dos dados. Valores pequenos (por exemplo, CV<10\% ou CV<20\%, dependendo do contexto) indicam que os dados são relativamente homogêneos; valores maiores indicam maior heterogeneidade.
  • Aqui temos CV em torno de 44{,}4\% (populacional) ou 48{,}0\% (amostral). Esses valores são relativamente altos: indicam que a variabilidade dos dados é grande em relação à média. Em linguagem simples: os dados não são muito homogêneos — há dispersão considerável em torno da média.
  • Observação intuitiva: os dados formam uma progressão aritmética simétrica em torno de 9, com passos de 2, o que explica a estrutura regular, mas a amplitude total é grande em relação à média, daí o CV elevado.

Resposta

(a) Variância populacional: \sigma^2=16; desvio padrão populacional: \sigma=4.
(a) Variância amostral: s^2=\dfrac{56}{3}\approx18{,}6667; desvio padrão amostral: s\approx4{,}3205.
(b) Coeficiente de variação (populacional): CV_{\text{pop}}\approx44{,}44\%.
(b) Coeficiente de variação (amostral): CV_{\text{amostra}}\approx48{,}01\%.
(b) Interpretação: esses valores de CV indicam variabilidade relativamente alta (os dados não são muito homogêneos).

Exercícios relacionados