Questão 6. (Morettin) Considere o conjunto de dados:
.
(a) Calcule a variância e o desvio padrão.
(b) Calcule o coeficiente de variação. O que esse valor indica sobre a homogeneidade dos dados?
(a) Calcule a variância e o desvio padrão.
(b) Calcule o coeficiente de variação. O que esse valor indica sobre a homogeneidade dos dados?
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (peguei os números do enunciado): os valores são
O enunciado pede:
(a) Calcular a variância e o desvio padrão.
(b) Calcular o coeficiente de variação e interpretar o que esse valor indica sobre a homogeneidade dos dados.
O enunciado pede:
(a) Calcular a variância e o desvio padrão.
(b) Calcular o coeficiente de variação e interpretar o que esse valor indica sobre a homogeneidade dos dados.
Passo 2
Calcular a média aritmética (centro dos dados). Vou usar a fórmula da média amostral/populacional, que é
onde
é a média e
é o número de observações. Aqui
.
Vou somar os dados (tudo em TeX):
Vou somar os dados (tudo em TeX):
Portanto
Explicando:
significa que o “centro” aritmético dos sete números é 9.
Passo 3
Calcular as diferenças em relação à média e seus quadrados. Para cada observação
calculo
e
.
Listei abaixo (cada tripla na forma ):
Listei abaixo (cada tripla na forma
Somando os quadrados das diferenças:
Passo 4
Variância e desvio padrão populacionais (quando se trata da população inteira).
Fórmula da variância populacional:
Fórmula da variância populacional:
onde
é a variância populacional,
é o tamanho da população e
é a média populacional. Aqui, tratando os 7 valores como a população,
e
.
Aplicando:
Aplicando:
O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
Interpretação rápida: em média (em termos quadráticos) os valores se afastam
unidades da média quando tratamos os dados como população.
Passo 5
Variância e desvio padrão amostrais (quando os dados são uma amostra da população).
Fórmula da variância amostral (com correção de Bessel):
Fórmula da variância amostral (com correção de Bessel):
onde
é a variância amostral e
é o tamanho da amostra. A correção por
é usada porque
foi estimada a partir da amostra, o que reduz graus de liberdade.
Aplicando com :
Aplicando com
O desvio padrão amostral é
Resumo: variância amostral
e
.
Passo 6
Coeficiente de variação (medida relativa de dispersão).
Definição: o coeficiente de variação é
Definição: o coeficiente de variação é
onde “desvio padrão” pode ser populacional (
) ou amostral (
), conforme o contexto. Ele mede a variabilidade relativa em porcentagem da média.
Calculei ambos os casos:
Calculei ambos os casos:
Usando desvio populacional:
Usando desvio amostral:
Passo 7
Interpretação do coeficiente de variação (o que indica sobre a homogeneidade dos dados)
- O coeficiente de variação compara dispersão com a escala dos dados. Valores pequenos (por exemplo,
ou , dependendo do contexto) indicam que os dados são relativamente homogêneos; valores maiores indicam maior heterogeneidade. - Aqui temos
em torno de (populacional) ou (amostral). Esses valores são relativamente altos: indicam que a variabilidade dos dados é grande em relação à média. Em linguagem simples: os dados não são muito homogêneos — há dispersão considerável em torno da média. - Observação intuitiva: os dados formam uma progressão aritmética simétrica em torno de 9, com passos de 2, o que explica a estrutura regular, mas a amplitude total é grande em relação à média, daí o CV elevado.
Resposta
(a) Variância populacional:
; desvio padrão populacional:
.
(a) Variância amostral: ; desvio padrão amostral:
.
(b) Coeficiente de variação (populacional): .
(b) Coeficiente de variação (amostral): .
(b) Interpretação: esses valores de indicam variabilidade relativamente alta (os dados não são muito homogêneos).
(a) Variância amostral:
(b) Coeficiente de variação (populacional):
(b) Coeficiente de variação (amostral):
(b) Interpretação: esses valores de