Questão 14. (Morettin) Sejam A e B dois eventos tais que P(A)=0.5, P(B)=0.4 e P(A \cap B)=0.2.
(a) Calcule P(A \cup B).
(b) Os eventos A e B são independentes? Justifique.
(c) Calcule P(A \mid B) e P(B \mid A).

Passo 1

O enunciado dá claramente os seguintes valores (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • P(A)=0,5.
  • P(B)=0,4.
  • P(A\cap B)=0,2.
O enunciado pede três coisas:
(a) Calcular P(A\cup B).
(b) Dizer se os eventos A e B são independentes e justificar.
(c) Calcular P(A\mid B) e P(B\mid A).

Passo 2

(a) Fórmula e ideia para P(A\cup B).
Explicação intuitiva antes de usar a fórmula: ao somar P(A) e P(B) as probabilidades da interseção A\cap B ficam contadas duas vezes (uma vez em P(A), outra em P(B)). Para corrigir isso subtrai-se uma vez a probabilidade da interseção.
Fórmula (essa é a regra básica de união de dois conjuntos/eventos):
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Aqui cada termo significa:
  • P(A\cup B): probabilidade de ocorrer A ou B (ou ambos).
  • P(A) e P(B): probabilidades individuais.
  • P(A\cap B): probabilidade de ocorrerem ambos simultaneamente.
Agora aplico os números dados:
P(A\cup B)=0,5+0,4-0,2.
Faço a soma/subtração passo a passo:
0,5+0,4=0,9,
0,9-0,2=0,7.
Portanto o cálculo resulta em 0,7.
Breve comentário prático: em prova escreva a fórmula, substitua os valores e faça as contas mostrando os passos como acima — isso evita erros bobos.

Passo 3

(b) Definição e teste de independência.
Definição (forma padrão e direta): dois eventos A e B são independentes se e somente se
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Intuição curta: a ocorrência de B não muda a probabilidade de A e vice‑versa.
Vou calcular o produto P(A)P(B) usando os valores dados:
P(A)P(B)=0,5\cdot 0,4.
Faço a multiplicação:
0,5\cdot 0,4=0,20.
Observe que 0,20 é justamente o valor dado para P(A\cap B), pois o enunciado informou P(A\cap B)=0,2.
Como os dois lados coincidem:
P(A\cap B)=0,2 \quad\text{e}\quad P(A)P(B)=0,20,
temos igualdade numérica. Pela definição concluímos que A e B são independentes.
Comentário extra: outra forma de ver isso é pelo condicional — se P(A\mid B)=P(A) (ou P(B\mid A)=P(B)), então também é independência. Vou mostrar isso no próximo passo ao calcular os condicionais.

Passo 4

(c) Cálculo dos condicionais P(A\mid B) e P(B\mid A).
Fórmula da probabilidade condicional: para P(B)>0 (e P(A)>0 quando necessário),
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}, \qquad P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Aqui cada símbolo significa:
  • P(A\mid B): probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu.
  • P(B\mid A): probabilidade de B ocorrer dado que A ocorreu.
  • P(A\cap B): probabilidade de ambos ocorrerem (já conhecida).
Calculo P(A\mid B):
P(A\mid B)=\frac{0,2}{0,4}.
Dividindo:
\frac{0,2}{0,4}=0,5.
Ou seja P(A\mid B)=0,5.
Calculo P(B\mid A):
P(B\mid A)=\frac{0,2}{0,5}.
Dividindo:
\frac{0,2}{0,5}=0,4.
Ou seja P(B\mid A)=0,4.
Observação: note que P(A\mid B)=0,5=P(A) e P(B\mid A)=0,4=P(B). Isso confirma, por outro caminho, que os eventos são independentes (a probabilidade de um não muda ao saber que o outro ocorreu).

Passo 5

Interpretação final rápida e dica para prova
  • Resultado prático: a probabilidade de que ocorra A ou B é 0,7.
  • Independência: como P(A\cap B)=P(A)P(B), os eventos são independentes — em linguagem de prova mostre a conta 0,2=0,5\cdot0,4.
  • Condicionais: P(A\mid B)=0,5 e P(B\mid A)=0,4; na prova mostre as frações e a divisão para ficar claro.
Exemplo simples para fixar a ideia (mental): se A é “sair cara” e B é “lançar dado e sair par” em dois experimentos independentes, saber que saiu par não muda a chance de cara — é essa a motivação por trás da igualdade dos condicionais com as probabilidades marginais.
Força aí — com passos claros como esses você consegue reproduzir isto rapidinho na prova.

Resposta

(a) P(A\cup B)=0,7
(b) Sim.
(c) P(A\mid B)=0,5
P(B\mid A)=0,4

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