Questão 14. (Morettin) Sejam
e
dois eventos tais que
e
.
(a) Calcule
.
(b) Os eventos
e
são independentes? Justifique.
(c) Calcule
e
.
(a) Calcule
(b) Os eventos
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá claramente os seguintes valores (vou listar exatamente o que foi fornecido):
-
. -
. -
.
O enunciado pede três coisas:
(a) Calcular .
(b) Dizer se os eventos e
são independentes e justificar.
(c) Calcular e
.
(a) Calcular
(b) Dizer se os eventos
(c) Calcular
Passo 2
(a) Fórmula e ideia para
.
Explicação intuitiva antes de usar a fórmula: ao somar
e
as probabilidades da interseção
ficam contadas duas vezes (uma vez em
, outra em
). Para corrigir isso subtrai-se uma vez a probabilidade da interseção.
Fórmula (essa é a regra básica de união de dois conjuntos/eventos):
Aqui cada termo significa:
-
: probabilidade de ocorrer ou (ou ambos). -
e : probabilidades individuais. -
: probabilidade de ocorrerem ambos simultaneamente.
Agora aplico os números dados:
Faço a soma/subtração passo a passo:
Portanto o cálculo resulta em
.
Breve comentário prático: em prova escreva a fórmula, substitua os valores e faça as contas mostrando os passos como acima — isso evita erros bobos.
Passo 3
(b) Definição e teste de independência.
Definição (forma padrão e direta): dois eventos
e
são independentes se e somente se
Intuição curta: a ocorrência de
não muda a probabilidade de
e vice‑versa.
Vou calcular o produto
usando os valores dados:
Faço a multiplicação:
Observe que
é justamente o valor dado para
, pois o enunciado informou
.
Como os dois lados coincidem:
temos igualdade numérica. Pela definição concluímos que
e
são independentes.
Comentário extra: outra forma de ver isso é pelo condicional — se
(ou
), então também é independência. Vou mostrar isso no próximo passo ao calcular os condicionais.
Passo 4
(c) Cálculo dos condicionais
e
.
Fórmula da probabilidade condicional: para
(e
quando necessário),
Aqui cada símbolo significa:
-
: probabilidade de ocorrer dado que ocorreu. -
: probabilidade de ocorrer dado que ocorreu. -
: probabilidade de ambos ocorrerem (já conhecida).
Calculo
:
Dividindo:
Ou seja
.
Calculo
:
Dividindo:
Ou seja
.
Observação: note que
e
. Isso confirma, por outro caminho, que os eventos são independentes (a probabilidade de um não muda ao saber que o outro ocorreu).
Passo 5
Interpretação final rápida e dica para prova
- Resultado prático: a probabilidade de que ocorra
ou é . - Independência: como
, os eventos são independentes — em linguagem de prova mostre a conta . - Condicionais:
e ; na prova mostre as frações e a divisão para ficar claro.
Exemplo simples para fixar a ideia (mental): se
é “sair cara” e
é “lançar dado e sair par” em dois experimentos independentes, saber que saiu par não muda a chance de cara — é essa a motivação por trás da igualdade dos condicionais com as probabilidades marginais.
Força aí — com passos claros como esses você consegue reproduzir isto rapidinho na prova.
Resposta
(a)
(b) Sim.
(c)
(b) Sim.
(c)