Questão 13. (Bussab) A probabilidade de um atirador acertar um alvo é de 0,6 . Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de:
(a) Acertar exatamente 3 tiros? (Use a distribuição Binomial).
(b) Acertar pelo menos 1 tiro?
(a) Acertar exatamente 3 tiros? (Use a distribuição Binomial).
(b) Acertar pelo menos 1 tiro?
Passo 1
O enunciado dá que a probabilidade de acerto em cada tiro é
e que o atirador atira
vezes. As perguntas são:
(a) Qual a probabilidade de acertar exatamente tiros?
(b) Qual a probabilidade de acertar pelo menos tiro?
(a) Qual a probabilidade de acertar exatamente
(b) Qual a probabilidade de acertar pelo menos
Informações relevantes dadas:
- Número de tentativas:
. - Probabilidade de sucesso (acerto) em cada tentativa:
. - Probabilidade de fracasso (erro) em cada tentativa:
. - Para (a) interessa o caso
. - Para (b) interessa
.
Passo 2
Modelo e ideias que vamos usar (explicação didática e prática):
Vamos modelar o número de acertos por uma variável aleatória que conta quantos acertos ocorrem em
tentativas independentes com mesma probabilidade de sucesso
. A distribuição apropriada para isso é dada pela fórmula da probabilidade binomial, que diz a probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos em
ensaios independentes.
Vamos modelar o número de acertos por uma variável aleatória
A fórmula da função massa de probabilidade binomial é:
onde:
-
é o número total de tentativas, -
é o número de sucessos desejado, -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, -
é a probabilidade de fracasso, -
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais tentativas entre serão os sucessos).
Vou usar essa fórmula para (a). Para (b) é muito mais simples usar o complemento:
, porque “pelo menos 1” é o complemento de “nenhum sucesso”.
Passo 3
Explicando o coeficiente binomial e como calculá-lo passo a passo:
O coeficiente binomial é dado por:
O coeficiente binomial
onde
(lê-se “n fatorial”) é o produto dos inteiros positivos até
:
. Exemplo prático que vamos usar:
Isso significa que há
maneiras diferentes de escolher quais
dos
tiros serão os acertos.
Passo 4
Cálculo detalhado da parte (a):
.
Substituindo ,
,
,
na fórmula:
Substituindo
Já sabemos que
. Agora calcule as potências passo a passo:
Multiplicando:
Finalmente:
Interpretação rápida: a chance de acertar exatamente 3 de 5 tiros, com probabilidade
por tiro, é
(ou
).
Passo 5
Cálculo detalhado da parte (b):
usando o complemento.
Primeiro calcule (nenhum acerto):
Primeiro calcule
Calcule passo a passo:
Agora o complemento:
Interpretação rápida: é bem provável acertar pelo menos um tiro (aprox.
).
Resposta
(a)
(b)
(b)