Questão 13. (Bussab) A probabilidade de um atirador acertar um alvo é de 0,6 . Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de:
(a) Acertar exatamente 3 tiros? (Use a distribuição Binomial).
(b) Acertar pelo menos 1 tiro?

Passo 1

O enunciado dá que a probabilidade de acerto em cada tiro é 0,6 e que o atirador atira 5 vezes. As perguntas são:
(a) Qual a probabilidade de acertar exatamente 3 tiros?
(b) Qual a probabilidade de acertar pelo menos 1 tiro?
Informações relevantes dadas:
  • Número de tentativas: n=5.
  • Probabilidade de sucesso (acerto) em cada tentativa: p=0,6.
  • Probabilidade de fracasso (erro) em cada tentativa: q=1-p=0,4.
  • Para (a) interessa o caso X=3.
  • Para (b) interessa X\ge 1.

Passo 2

Modelo e ideias que vamos usar (explicação didática e prática):
Vamos modelar o número de acertos por uma variável aleatória X que conta quantos acertos ocorrem em n tentativas independentes com mesma probabilidade de sucesso p. A distribuição apropriada para isso é dada pela fórmula da probabilidade binomial, que diz a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos em n ensaios independentes.
A fórmula da função massa de probabilidade binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,q^{\,n-k},
onde:
  • n é o número total de tentativas,
  • k é o número de sucessos desejado,
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa,
  • q=1-p é a probabilidade de fracasso,
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais k tentativas entre n serão os sucessos).
Vou usar essa fórmula para (a). Para (b) é muito mais simples usar o complemento: P(X\ge 1)=1-P(X=0), porque “pelo menos 1” é o complemento de “nenhum sucesso”.

Passo 3

Explicando o coeficiente binomial e como calculá-lo passo a passo:
O coeficiente binomial \binom{n}{k} é dado por:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “n fatorial”) é o produto dos inteiros positivos até n: n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Exemplo prático que vamos usar:
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}=\frac{120}{6\cdot2}=10.
Isso significa que há 10 maneiras diferentes de escolher quais 3 dos 5 tiros serão os acertos.

Passo 4

Cálculo detalhado da parte (a): P(X=3).
Substituindo n=5, k=3, p=0,6, q=0,4 na fórmula:
P(X=3)=\binom{5}{3}\,(0,6)^{3}\,(0,4)^{2}.
Já sabemos que \binom{5}{3}=10. Agora calcule as potências passo a passo:
(0,6)^{2}=0,36,\qquad (0,6)^{3}=0,36\times0,6=0,216.
(0,4)^{2}=0,16.
Multiplicando:
0,216\times0,16=0,03456.
Finalmente:
P(X=3)=10\times0,03456=0,3456.
Interpretação rápida: a chance de acertar exatamente 3 de 5 tiros, com probabilidade 0,6 por tiro, é 0,3456 (ou 34,56\%).

Passo 5

Cálculo detalhado da parte (b): P(X\ge 1) usando o complemento.
Primeiro calcule P(X=0) (nenhum acerto):
P(X=0)=\binom{5}{0}\,(0,6)^{0}\,(0,4)^{5}.
\binom{5}{0}=1 e (0,6)^{0}=1. Então
P(X=0)=(0,4)^{5}.
Calcule passo a passo:
(0,4)^{2}=0,16,\qquad (0,4)^{4}=0,16\times0,16=0,0256,
(0,4)^{5}=0,0256\times0,4=0,01024.
Agora o complemento:
P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0,01024=0,98976.
Interpretação rápida: é bem provável acertar pelo menos um tiro (aprox. 98,976\%).

Resposta

(a) 0,3456
(b) 0,98976

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