4^a Questão (10 pontos): Encontre uma equação diferencial cuja solução geral seja
y=c1 e^2 x+c2 e^4 x+7

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma equação diferencial cuja solução geral seja
y = c1e^2x + c2e^4x + 7
Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, em que a solução geral é a soma da solução homogênea (do tipo e^rx) e de uma solução particular.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea. Supondo uma ODE da forma
y'' -6y' +8y = g(x),
a equação característica é
r^2 -6r +8 = 0
Resolvendo,
r = 6 pm raiz36 -322 = 6 pm 22Longrightarrow r=2,;4
Logo a solução homogênea é
yh = c1e^2x + c2e^4x

Passo 3

Precisamos agora de uma solução particular constante igual a 7. Suponha
yp = A,
então
yp' = 0, yp''=0
Substituindo em
y'' -6y' +8y = g(x)
fica
0 - 6cdot 0 + 8A = g(x)
Como queremos yp=7, temos A=7, logo
g(x)=8cdot 7 = 56

Passo 4

Portanto, a equação diferencial que tem solução geral
y = c1e^2x + c2e^4x + 7
é
y'' -6y' +8y = 56

Resposta

y'' -6y' +8y = 56

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