Questão (10 pontos): Encontre uma equação diferencial cuja solução geral seja
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma equação diferencial cuja solução geral seja
Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, em que a solução geral é a soma da solução homogênea (do tipo
) e de uma solução particular.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea. Supondo uma ODE da forma
a equação característica é
Resolvendo,
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Precisamos agora de uma solução particular constante igual a
. Suponha
então
Substituindo em
fica
Como queremos
, temos
, logo
Passo 4
Portanto, a equação diferencial que tem solução geral
é