Questão 3 [12 pontos]: Use a transformada de Fourier e suas propriedades para encontrar a soluçāo exata do problema a seguir.
Passo 1
O problema dá a equação de calor e uma condição inicial e pede a solução exata para todo
e
. Especificamente:
- Equação diferencial parcial fornecida:
- Condição inicial fornecida:
O que se pede: encontrar
explícita e exatamente, satisfeita a equação e à condição inicial.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier em
com a normalização usual sem fator na frente (forward) e fator
na inversa. Ou seja, para uma função
definimos
e a transformada inversa é
Explico rapidamente duas propriedades que vamos usar (são fáceis e essenciais):
- Derivada espacial: se
e suas derivadas são razoáveis, então
Isso vem por integração por partes: a derivada em
vira multiplicação por
na variável
.
- Derivada temporal: se
é suficientemente regular, a transformada em com fixo comuta com , isto é
Isso é porque a integração é feita em
e
é parâmetro.
Com essas propriedades, transformar a equação em
converte a PDE em uma ODE em
para
.
Passo 3
Aplicamos a transformada de Fourier em
à equação
. Usando as propriedades do passo anterior:
Logo obtemos a ODE para cada
:
Essa é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem em
(para cada
).
Passo 4
Precisamos da condição inicial transformada. Calculamos
a partir de
:
Essa integral é a transformada de Fourier da gaussiana. Para avaliá-la fazemos completar quadrado no expoente:
Assim
A integral
tem o mesmo valor que
(deslocamento no plano complexo não altera o valor para essa função gaussiana), e sabemos que
Portanto
(Esse é um resultado clássico: a transformada de
é
; aqui
.)
Passo 5
Voltando à ODE
com condição inicial
, resolvemos a ODE por separação ou por fórmula de exponencial:
Passo 6
Agora invertemos a transformada para obter
:
Para simplificar, defina
que satisfaz
para
. Então
Usamos a fórmula conhecida (obtida também por completar quadrado) para a transformada inversa gaussiana:
Aplicando isso:
Agora substituímos
. Calculando
e
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (satisfação da condição inicial e da PDE):
-
Condição inicial: colocando
em obtemos , que coincide com a condição dada. -
Verificação da equação (resumo): definindo
e escrevendo , calcula-se
logo
. (Os cálculos usam regra da cadeia e produto; eu mostrei o essencial: as duas expressões coincidem multiplicadas por
.)
Assim a função encontrada satisfaz tanto a PDE quanto a condição inicial.
Passo 8
Resumo interpretativo rápido e dica prática para prova: a transformada de Fourier transforma a PDE em uma ODE simples porque derivadas espaciais viram multiplicação por potências de
. A transformada da gaussiana é outra gaussiana, então tudo fica muito direto — por isso gaussiana é um caso clássico e elegante da equação de calor.