Questão 3 [12 pontos]: Use a transformada de Fourier e suas propriedades para encontrar a soluçāo exata do problema a seguir.
\begin{cases}u_{t}=4 u_{x x} & \text { se }-\infty<x<\infty \text { e } t>0 \\\ u(x, 0)=e^{-\frac{x^{2}}{2}} & \text { se }-\infty<x<\infty\end{cases}

Passo 1

O problema dá a equação de calor e uma condição inicial e pede a solução exata para todo -\infty<x<\infty e t>0. Especificamente:
  • Equação diferencial parcial fornecida: u_{t}=4\,u_{x x}\quad\text{para }\;-\infty<x<\infty,\;t>0.
  • Condição inicial fornecida: u(x,0)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}\quad\text{para }\;-\infty<x<\infty.
O que se pede: encontrar u(x,t) explícita e exatamente, satisfeita a equação e à condição inicial.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier em x com a normalização usual sem fator na frente (forward) e fator 1/(2\pi) na inversa. Ou seja, para uma função f(x) definimos
\hat{f}(k)=\mathcal{F}\{f\}(k)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-ikx}\,dx,
e a transformada inversa é
f(x)=\mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}\}(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)\,e^{ikx}\,dk.
Explico rapidamente duas propriedades que vamos usar (são fáceis e essenciais):
  1. Derivada espacial: se f e suas derivadas são razoáveis, então
\mathcal{F}\{f_x\}(k)=ik\,\hat{f}(k)\quad\text{e}\quad \mathcal{F}\{f_{xx}\}(k)=(ik)^2\hat{f}(k)=-k^2\hat{f}(k).
Isso vem por integração por partes: a derivada em x vira multiplicação por ik na variável k.
  1. Derivada temporal: se u(x,t) é suficientemente regular, a transformada em x com t fixo comuta com \partial_t, isto é
\mathcal{F}\{u_t(\cdot,t)\}(k)=\partial_t\big(\hat{u}(k,t)\big).
Isso é porque a integração é feita em x e t é parâmetro.
Com essas propriedades, transformar a equação em x converte a PDE em uma ODE em t para \hat{u}(k,t).

Passo 3

Aplicamos a transformada de Fourier em x à equação \;u_t=4u_{xx}\;. Usando as propriedades do passo anterior:
\mathcal{F}\{u_t\}(k,t)=\partial_t\hat{u}(k,t),
\mathcal{F}\{4u_{xx}\}(k,t)=4\,( -k^2 )\,\hat{u}(k,t)=-4k^2\hat{u}(k,t).
Logo obtemos a ODE para cada k:
\partial_t\hat{u}(k,t) = -4k^2\,\hat{u}(k,t).
Essa é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem em t (para cada k).

Passo 4

Precisamos da condição inicial transformada. Calculamos \hat{u}(k,0) a partir de u(x,0)=e^{-x^2/2}:
\hat{u}(k,0)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}\,e^{-ikx}\,dx.
Essa integral é a transformada de Fourier da gaussiana. Para avaliá-la fazemos completar quadrado no expoente:
-\frac{x^2}{2}-ikx = -\frac{1}{2}\Big(x^2 + 2ikx\Big) = -\frac{1}{2}\Big((x+ik)^2 - (ik)^2\Big) = -\frac{(x+ik)^2}{2} -\frac{k^2}{2}.
Assim
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}e^{-ikx}dx = e^{-\frac{k^2}{2}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x+ik)^2}{2}}dx.
A integral \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x+ik)^2/2}dx tem o mesmo valor que \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2/2}dy (deslocamento no plano complexo não altera o valor para essa função gaussiana), e sabemos que
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2/2}dy = \sqrt{2\pi}.
Portanto
\hat{u}(k,0)=\sqrt{2\pi}\;e^{-\frac{k^2}{2}}.
(Esse é um resultado clássico: a transformada de e^{-x^2/(2\sigma^2)} é \sigma\sqrt{2\pi}\,e^{-(\sigma^2 k^2)/2}; aqui \sigma=1.)

Passo 5

Voltando à ODE \partial_t\hat{u} = -4k^2\hat{u} com condição inicial \hat{u}(k,0)=\sqrt{2\pi}e^{-k^2/2}, resolvemos a ODE por separação ou por fórmula de exponencial:
\hat{u}(k,t)=\hat{u}(k,0)\,e^{-4k^2 t} = \sqrt{2\pi}\;e^{-\frac{k^2}{2}}\,e^{-4k^2 t} = \sqrt{2\pi}\;e^{-k^2\left(\frac{1}{2}+4t\right)}.

Passo 6

Agora invertemos a transformada para obter u(x,t):
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{u}(k,t)\,e^{ikx}\,dk = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{2\pi}\,e^{-k^2\left(\frac{1}{2}+4t\right)}\,e^{ikx}\,dk.
Para simplificar, defina
a=\frac{1}{2}+4t=\frac{1+8t}{2},
que satisfaz \Re(a)>0 para t\ge0. Então
u(x,t)=\frac{\sqrt{2\pi}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a k^2} e^{ikx}\,dk = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a k^2} e^{ikx}\,dk.
Usamos a fórmula conhecida (obtida também por completar quadrado) para a transformada inversa gaussiana:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a k^2} e^{ikx}\,dk = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\; e^{-\frac{x^2}{4a}},\qquad (\Re(a)>0).
Aplicando isso:
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\;\sqrt{\frac{\pi}{a}}\; e^{-\frac{x^2}{4a}} = \frac{1}{\sqrt{2a}}\; e^{-\frac{x^2}{4a}}.
Agora substituímos a=\dfrac{1+8t}{2}. Calculando 2a=1+8t e 4a=2(1+8t), obtemos
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{1+8t}}\;\exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2(1+8t)}\right).

Passo 7

Verificação rápida (satisfação da condição inicial e da PDE):
  • Condição inicial: colocando t=0 em \;u(x,t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+8t}}e^{-x^{2}/(2(1+8t))}\; obtemos u(x,0)=1\cdot e^{-x^{2}/2}, que coincide com a condição dada.
  • Verificação da equação (resumo): definindo s=1+8t e escrevendo u(x,t)=s^{-1/2}e^{-x^2/(2s)}, calcula-se
u_t = 4\,e^{-x^2/(2s)}s^{-5/2}\big(-s+x^2\big),
u_{xx} = e^{-x^2/(2s)}s^{-5/2}\big(-s+x^2\big),
logo u_t=4u_{xx}. (Os cálculos usam regra da cadeia e produto; eu mostrei o essencial: as duas expressões coincidem multiplicadas por 4.)
Assim a função encontrada satisfaz tanto a PDE quanto a condição inicial.

Passo 8

Resumo interpretativo rápido e dica prática para prova: a transformada de Fourier transforma a PDE em uma ODE simples porque derivadas espaciais viram multiplicação por potências de k. A transformada da gaussiana é outra gaussiana, então tudo fica muito direto — por isso gaussiana é um caso clássico e elegante da equação de calor.

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{1+8t}}\exp\!\left(-\frac{x^{2}}{2(1+8t)}\right)

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