Questão 1 [11 pontos]: Encontre a representaçāo integral de Fourier da funçāo a seguir, calculando diretamente ou usando a tabela de transformadas de Fourier.
f(x)= \begin{cases}0 & \text { se }|x|<1 \\\\ 1 & \text { se } 1<|x|<2 \\\\ 0 & \text { caso contrário }\end{cases}á

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a representação integral de Fourier da função f(x)\) dada por \[f(x)= \begin{cases}0 & \text{se }|x|<1,\\[4pt] 1 & \text{se }1<|x|<2,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário.} \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • f(x) é suportada apenas nos intervalos (1,2)\] e \((-2,-1).
  • f(x) é uma função real e é par (ou seja, f(-x)=f(x)).
  • A tarefa é escrever a representação integral de Fourier (logo preciso da transformada de Fourier \hat f(\omega) e da fórmula inversa).
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Passo 2

Vou usar a convenção padrão (muito comum em análise) para transformada de Fourier e sua inversa. Explico as fórmulas e o que cada símbolo significa:
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx,
onde \omega é a frequência e \hat f(\omega) é a transformada de f. A fórmula inversa correspondente é
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega.
Observação útil (que facilita os cálculos): se f é real e par, então \hat f(\omega) é real e par, e a inversa pode ser escrita usando cosseno:
f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\hat f(\omega)\cos(\omega x)\,d\omega.
Aqui eu já expliquei qual é a definição e por que posso simplificar para uma integral em cosseno (por simetria).

Passo 3

Calculo \hat f(\omega) diretamente pela definição. Como f(x)=1 apenas em (-2,-1)\cup(1,2) e é zero em outros lugares, temos
\hat f(\omega)=\int_{-2}^{-1} e^{-i\omega x}\,dx+\int_{1}^{2} e^{-i\omega x}\,dx.
Agora uso que f é par, o que implica que as duas integrais se combinam em uma só com cosseno:
\hat f(\omega)=2\int_{1}^{2}\cos(\omega x)\,dx,
porque \int_{-2}^{-1} e^{-i\omega x}\,dx+\int_{1}^{2} e^{-i\omega x}\,dx=\int_{1}^{2}(e^{-i\omega x}+e^{i\omega x})\,dx=2\int_{1}^{2}\cos(\omega x)\,dx.
Agora calculo a integral de \cos(\omega x). Sabemos que
\int \cos(\omega x)\,dx=\frac{\sin(\omega x)}{\omega}\quad(\omega\neq 0).
Assim
\hat f(\omega)=2\left[\frac{\sin(\omega x)}{\omega}\right]_{x=1}^{x=2} =2\frac{\sin(2\omega)-\sin(\omega)}{\omega}.
Precaução no caso \omega=0: aplico o limite \omega\to 0. Usando a expansão \sin t\sim t para t\to 0,
\lim_{\omega\to 0}\hat f(\omega)=\lim_{\omega\to 0}2\frac{\sin(2\omega)-\sin(\omega)}{\omega} =2\frac{2\omega-\omega}{\omega}=2.
Isto coincide com a área total de f (comprimento dos intervalos onde f=1, que é 1+1=2), como era de esperar.

Passo 4

Posso reescrever \hat f(\omega) numa forma alternativa mais compacta usando a identidade de soma/diferença de senos:
\sin(2\omega)-\sin(\omega)=2\cos\!\left(\tfrac{3\omega}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{\omega}{2}\right).
Logo
\hat f(\omega)=2\frac{\sin(2\omega)-\sin(\omega)}{\omega} =4\cos\!\left(\tfrac{3\omega}{2}\right)\frac{\sin(\tfrac{\omega}{2})}{\omega} =2\cos\!\left(\tfrac{3\omega}{2}\right)\,\frac{\sin(\tfrac{\omega}{2})}{\tfrac{\omega}{2}}.
A expressão \dfrac{\sin(\tfrac{\omega}{2})}{\tfrac{\omega}{2}} é a função “sinc” usual (normalizada), portanto essa forma deixa explícito o decaimento em \omega.

Passo 5

Agora escrevo a representação integral inversa de Fourier substituindo \hat f(\omega) na fórmula inversa. Usando a forma complexa:
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)\,e^{i\omega x}\,d\omega =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}2\frac{\sin(2\omega)-\sin(\omega)}{\omega}\,e^{i\omega x}\,d\omega.
Como \hat f é real e par, fica mais elegante (e prático) usar a forma com cosseno:
f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}\hat f(\omega)\cos(\omega x)\,d\omega =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(2\omega)-\sin(\omega)}{\omega}\cos(\omega x)\,d\omega.
Ambas as expressões são equivalentes e representam f(x) como integral de Fourier; a segunda é frequentemente preferida quando f é par, porque trabalha só com integrais reais.

Passo 6

Resumo prático do que convém decorar para a prova:
\hat f(\omega)=2\frac{\sin(2\omega)-\sin(\omega)}{\omega},\qquad \hat f(0)=2,
e duas formas equivalentes da representação integral de Fourier de f são
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}2\frac{\sin(2\omega)-\sin(\omega)}{\omega}\,e^{i\omega x}\,d\omega
ou, usando a simetria,
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(2\omega)-\sin(\omega)}{\omega}\cos(\omega x)\,d\omega.
Essas fórmulas te dão exatamente a representação integral pedida. Se precisar, eu posso mostrar como derivar a expressão para casos parecidos (por exemplo, um bloco deslocado) — é a mesma ideia: integrar a exponencial nas regiões onde a função é 1 e usar simetria quando houver paridade.

Resposta

\displaystyle \hat f(\omega)=2\frac{\sin(2\omega)-\sin(\omega)}{\omega}\
\displaystyle f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}2\frac{\sin(2\omega)-\sin(\omega)}{\omega}\,e^{i\omega x}\,d\omega =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(2\omega)-\sin(\omega)}{\omega}\cos(\omega x)\,d\omega

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