Questão 1 [11 pontos]: Encontre a representaçāo integral de Fourier da funçāo a seguir, calculando diretamente ou usando a tabela de transformadas de Fourier.
f(x)= \begin{cases}0 & \text { se }|x|<1 \\\\ 1 & \text { se } 1<|x|<2 \\\\ 0 & \text { caso contrário }\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a representação integral de Fourier da função f(x)\) dada por
\[f(x)= \begin{cases}0 & \text{se }|x|<1,\\[4pt] 1 & \text{se }1<|x|<2,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário.} \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
•f(x) é suportada apenas nos intervalos (1,2)\] e \((-2,-1).
•f(x) é uma função real e é par (ou seja, f(-x)=f(x)).
•A tarefa é escrever a representação integral de Fourier (logo preciso da transformada de Fourier \hat f(\omega) e da fórmula inversa).
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Passo 2
Vou usar a convenção padrão (muito comum em análise) para transformada de Fourier e sua inversa. Explico as fórmulas e o que cada símbolo significa:
Agora uso que f é par, o que implica que as duas integrais se combinam em uma só com cosseno:
\hat f(\omega)=2\int_{1}^{2}\cos(\omega x)\,dx,
porque \int_{-2}^{-1} e^{-i\omega x}\,dx+\int_{1}^{2} e^{-i\omega x}\,dx=\int_{1}^{2}(e^{-i\omega x}+e^{i\omega x})\,dx=2\int_{1}^{2}\cos(\omega x)\,dx.
Agora calculo a integral de \cos(\omega x). Sabemos que
A expressão \dfrac{\sin(\tfrac{\omega}{2})}{\tfrac{\omega}{2}} é a função “sinc” usual (normalizada), portanto essa forma deixa explícito o decaimento em \omega.
Passo 5
Agora escrevo a representação integral inversa de Fourier substituindo \hat f(\omega) na fórmula inversa. Usando a forma complexa:
Ambas as expressões são equivalentes e representam f(x) como integral de Fourier; a segunda é frequentemente preferida quando f é par, porque trabalha só com integrais reais.
Passo 6
Resumo prático do que convém decorar para a prova:
Essas fórmulas te dão exatamente a representação integral pedida. Se precisar, eu posso mostrar como derivar a expressão para casos parecidos (por exemplo, um bloco deslocado) — é a mesma ideia: integrar a exponencial nas regiões onde a função é 1 e usar simetria quando houver paridade.