Questāo 2 [11 pontos]: Calcule a transformada de Fourier da funçāo
g(x)=(1-x)^{2} e^{-|x|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função
g(x)=(1-x)^{2} e^{-|x|}.
As informações dadas são apenas a expressão de g(x) para todo x\in\mathbb{R}. O que devemos encontrar é a transformada de Fourier (no sentido usual) definida por
\widehat{g}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
Não vamos resolver nada ainda, apenas deixei claro o que é pedido e qual é a função que vamos transformar.

Passo 2

Estratégia: vou expandir (1-x)^{2}=1-2x+x^{2} e usar a propriedade que relaciona multiplicação por x no domínio da função com derivadas da transformada em frequência. Vou provar essa propriedade de forma direta e simples para você não ficar na dúvida.
Seja F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x}\,dx. Diferenciando em \omega sob o sinal de integral (justificável para funções com decaimento suficiente, como a nossa e^{-|x|}):
\frac{d}{d\omega}F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\frac{\partial}{\partial\omega}\big(e^{-i\omega x}\big)\,dx=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)(-ix)e^{-i\omega x}\,dx=-i\mathcal{F}\{x f\}(\omega).
Logo, isolando \mathcal{F}\{x f\},
\mathcal{F}\{x f\}(\omega)=i\frac{d}{d\omega}F(\omega).
Aplicando essa regra duas vezes obtemos também
\mathcal{F}\{x^{2}f\}(\omega)=i\frac{d}{d\omega}\big(\mathcal{F}\{x f\}(\omega)\big)=i\frac{d}{d\omega}\Big(i\frac{d}{d\omega}F(\omega)\Big)= -\frac{d^{2}}{d\omega^{2}}F(\omega).
Essas fórmulas vão facilitar muito: como g=(1-2x+x^{2})e^{-|x|}, temos
\widehat{g}(\omega)=\mathcal{F}\{e^{-|x|}\}(\omega)-2\,\mathcal{F}\{x e^{-|x|}\}(\omega)+\mathcal{F}\{x^{2} e^{-|x|}\}(\omega).
Usando as relações acima, com F_{0}(\omega)=\mathcal{F}\{e^{-|x|}\}(\omega), isso vira
\widehat{g}(\omega)=F_{0}(\omega)-2\big(i F_{0}'(\omega)\big)+\big(-F_{0}''(\omega)\big)=F_{0}(\omega)-2iF_{0}'(\omega)-F_{0}''(\omega).
Agora só precisamos calcular F_{0}, F_{0}' e F_{0}''.

Passo 3

Calcular F_{0}(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|}e^{-i\omega x}\,dx. Vamos partir a integral em duas partes:
F_{0}(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-x}e^{-i\omega x}\,dx+\int_{-\infty}^{0} e^{x}e^{-i\omega x}\,dx.
Na primeira integral fazemos \int_{0}^{\infty} e^{-(1+i\omega)x}\,dx. Como \Re(1+i\omega)=1>0, a integral converge e vale
\int_{0}^{\infty} e^{-(1+i\omega)x}\,dx=\frac{1}{1+i\omega}.
Na segunda integral usamos a substituição u=-x (ou reconhecemos a forma) e obtemos
\int_{-\infty}^{0} e^{(1-i\omega)x}\,dx=\int_{0}^{\infty} e^{-(1-i\omega)u}\,du=\frac{1}{1-i\omega}.
Somando,
F_{0}(\omega)=\frac{1}{1+i\omega}+\frac{1}{1-i\omega}.
Colocando em denominação comum (1+\omega^{2}) temos
F_{0}(\omega)=\frac{1-i\omega+1+i\omega}{1+\omega^{2}}=\frac{2}{1+\omega^{2}}.

Passo 4

Derivada primeira F_{0}'(\omega). Partimos de F_{0}(\omega)=2(1+\omega^{2})^{-1}. Aplicando a regra da cadeia:
F_{0}'(\omega)=2\cdot(-1)(1+\omega^{2})^{-2}\cdot 2\omega = -\frac{4\omega}{(1+\omega^{2})^{2}}.
Mostrei passo a passo: derivada de (1+\omega^{2})^{-1} é -1\cdot(1+\omega^{2})^{-2}\cdot 2\omega.

Passo 5

Derivada segunda F_{0}''(\omega). Derivamos F_{0}'(\omega)=-4\omega(1+\omega^{2})^{-2} usando a regra do produto:
F_{0}''(\omega)=-4(1+\omega^{2})^{-2} + (-4\omega)\cdot\big(-2\big)(1+\omega^{2})^{-3}\cdot 2\omega.
Explicando o segundo termo: a derivada de (1+\omega^{2})^{-2} é -2(1+\omega^{2})^{-3}\cdot 2\omega. Portanto
F_{0}''(\omega)=-\frac{4}{(1+\omega^{2})^{2}} + \frac{16\omega^{2}}{(1+\omega^{2})^{3}}.
Colocando em denominador comum (1+\omega^{2})^{3}:
F_{0}''(\omega)=\frac{-4(1+\omega^{2})+16\omega^{2}}{(1+\omega^{2})^{3}}=\frac{-4+12\omega^{2}}{(1+\omega^{2})^{3}}.

Passo 6

Agora substituímos em
\widehat{g}(\omega)=F_{0}(\omega)-2iF_{0}'(\omega)-F_{0}''(\omega).
Vamos calcular termo a termo com as expressões obtidas.
  1. F_{0}(\omega)=\dfrac{2}{1+\omega^{2}}.
  2. -2iF_{0}'(\omega)=-2i\left(-\dfrac{4\omega}{(1+\omega^{2})^{2}}\right)=\dfrac{8i\omega}{(1+\omega^{2})^{2}}.
  3. -F_{0}''(\omega)=-\dfrac{-4+12\omega^{2}}{(1+\omega^{2})^{3}}=\dfrac{4-12\omega^{2}}{(1+\omega^{2})^{3}}.
Somando os três termos, para simplificar faço o denominador comum (1+\omega^{2})^{3}.
  • Primeiro termo com o denominador comum:
\frac{2}{1+\omega^{2}}=\frac{2(1+\omega^{2})^{2}}{(1+\omega^{2})^{3}}=\frac{2+4\omega^{2}+2\omega^{4}}{(1+\omega^{2})^{3}}.
  • Segundo termo:
\frac{8i\omega}{(1+\omega^{2})^{2}}=\frac{8i\omega(1+\omega^{2})}{(1+\omega^{2})^{3}}=\frac{8i\omega+8i\omega^{3}}{(1+\omega^{2})^{3}}.
  • Terceiro termo já está em (1+\omega^{2})^{3}:
\frac{4-12\omega^{2}}{(1+\omega^{2})^{3}}.
Somando numeradores (reais com reais, imaginários com imaginários):
\text{numerador real}=2+4\omega^{2}+2\omega^{4}+4-12\omega^{2}=2\omega^{4}-8\omega^{2}+6,
\text{numerador imaginário}=8i\omega+8i\omega^{3}=8i\omega(1+\omega^{2}).á
Portanto
\widehat{g}(\omega)=\frac{2\omega^{4}-8\omega^{2}+6 + 8i\omega(1+\omega^{2})}{(1+\omega^{2})^{3}}.

Passo 7

Vou dar uma forma equivalente um pouco mais factorizada (só para você ver outra aparência), embora a expressão anterior já seja uma boa forma final:
\widehat{g}(\omega)=\frac{2\big(\omega^{4}-4\omega^{2}+3\big)+8i\omega(1+\omega^{2})}{(1+\omega^{2})^{3}}=\frac{2(\omega^{2}-1)(\omega^{2}-3)+8i\omega(1+\omega^{2})}{(1+\omega^{2})^{3}}.
Mas mantenho como resposta principal a forma racional com numerador polinomial complexificado que obtivemos.

Resposta

\widehat{g}(\omega)=\frac{2\omega^{4}-8\omega^{2}+6 + 8i\omega(1+\omega^{2})}{(1+\omega^{2})^{3}}

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