Questāo 2 [11 pontos]: Calcule a transformada de Fourier da funçāo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função
As informações dadas são apenas a expressão de
para todo
. O que devemos encontrar é a transformada de Fourier (no sentido usual) definida por
Não vamos resolver nada ainda, apenas deixei claro o que é pedido e qual é a função que vamos transformar.
Passo 2
Estratégia: vou expandir
e usar a propriedade que relaciona multiplicação por
no domínio da função com derivadas da transformada em frequência. Vou provar essa propriedade de forma direta e simples para você não ficar na dúvida.
Seja
. Diferenciando em
sob o sinal de integral (justificável para funções com decaimento suficiente, como a nossa
):
Logo, isolando
,
Aplicando essa regra duas vezes obtemos também
Essas fórmulas vão facilitar muito: como
, temos
Usando as relações acima, com
, isso vira
Agora só precisamos calcular
,
e
.
Passo 3
Calcular
. Vamos partir a integral em duas partes:
Na primeira integral fazemos
. Como
, a integral converge e vale
Na segunda integral usamos a substituição
(ou reconhecemos a forma) e obtemos
Somando,
Colocando em denominação comum
temos
Passo 4
Derivada primeira
. Partimos de
. Aplicando a regra da cadeia:
Mostrei passo a passo: derivada de
é
.
Passo 5
Derivada segunda
. Derivamos
usando a regra do produto:
Explicando o segundo termo: a derivada de
é
. Portanto
Colocando em denominador comum
:
Passo 6
Agora substituímos em
Vamos calcular termo a termo com as expressões obtidas.
-
. -
-
Somando os três termos, para simplificar faço o denominador comum
.
- Primeiro termo com o denominador comum:
- Segundo termo:
- Terceiro termo já está em
:
Somando numeradores (reais com reais, imaginários com imaginários):
Portanto
Passo 7
Vou dar uma forma equivalente um pouco mais factorizada (só para você ver outra aparência), embora a expressão anterior já seja uma boa forma final:
Mas mantenho como resposta principal a forma racional com numerador polinomial complexificado que obtivemos.