Questāo 2 (12 pts): Encontre a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
. - Queremos
(a derivada em relação a ).
Passo 2
Escolha do método: aqui a função está escrita como um quociente (uma coisa dividida por outra). Uma maneira direta e rápida é usar a regra do quociente. Outra opção seria reescrever em potências e tentar simplificar antes de derivar, mas isso não simplifica muito neste caso. Vou usar a regra do quociente porque é direta e leva a uma simplificação bem elegante neste problema.
Vou lembrar (e explicar) a regra do quociente e a regra da potência que vou usar:
- Regra do quociente: se
, então
Aqui
e
são funções de
,
e
são as derivadas delas.
- Regra da potência: se
com constante, então
No caso de
temos
, logo a derivada é
.
Passo 3
Identificar
e
no quociente:
Agora calculemos
e
usando a regra da potência.
Para :
Para
Para
: como
e a derivada de
é
,
Passo 4
Aplicar a regra do quociente:
Substituindo
:
Passo 5
Simplificar o numerador passo a passo. Observe que ambos os termos do numerador têm o fator comum
, então fatoramos:
Dentro do parêntese
. Então
Passo 6
Substituindo a simplificação do numerador na expressão de
:
Uma maneira de escrever isso de forma limpa é juntar em uma fração única: