Questāo 2 (12 pts): Encontre a derivada das funções abaixo.
y=\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é y=\dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}.
  • Queremos \dfrac{dy}{dx} (a derivada em relação a x).

Passo 2

Escolha do método: aqui a função está escrita como um quociente (uma coisa dividida por outra). Uma maneira direta e rápida é usar a regra do quociente. Outra opção seria reescrever em potências e tentar simplificar antes de derivar, mas isso não simplifica muito neste caso. Vou usar a regra do quociente porque é direta e leva a uma simplificação bem elegante neste problema.
Vou lembrar (e explicar) a regra do quociente e a regra da potência que vou usar:
  • Regra do quociente: se y=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) e v(x) são funções de x, u'(x) e v'(x) são as derivadas delas.
  • Regra da potência: se u(x)=x^{n} com n constante, então
u'(x)=n\,x^{n-1}.
No caso de \sqrt{x} temos \sqrt{x}=x^{1/2}, logo a derivada é \dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Identificar u(x) e v(x) no quociente:
u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad v(x)=1+\sqrt{x}=1+x^{1/2}.
Agora calculemos u'(x) e v'(x) usando a regra da potência.
Para u:
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Para v: como v(x)=1+u(x) e a derivada de 1 é 0,
v'(x)=u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Substituindo u,u',v,v':
y'=\frac{\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\!(1+\sqrt{x})-\sqrt{x}\!\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{(1+\sqrt{x})^{2}}.

Passo 5

Simplificar o numerador passo a passo. Observe que ambos os termos do numerador têm o fator comum \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, então fatoramos:
\text{numerador}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\bigl(1+\sqrt{x}-\sqrt{x}\bigr).
Dentro do parêntese +\sqrt{x}-\sqrt{x}=1. Então
\text{numerador}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot 1=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Substituindo a simplificação do numerador na expressão de y':
y'=\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{(1+\sqrt{x})^{2}}.
Uma maneira de escrever isso de forma limpa é juntar em uma fração única:
y'=\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})^{2}}.

Resposta

y'=\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})^{2}}

Exercícios relacionados