Questāo 2 (12 pts): Encontre a derivada das funções abaixo.
y=2 x \ln (\cos (x))

Passo 1

O enunciado pede claramente a derivada da função
y = 2 x \ln\bigl(\cos(x)\bigr).
Informações dadas:
  • A função é o produto de duas funções: 2x e \ln(\cos(x)).
  • O objetivo é encontrar y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta chave: a regra do produto. Se tivermos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto u(x)v(x) é dada por
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui cada símbolo significa:
  • u(x) e v(x): as duas funções que se multiplicam.
  • u'(x) e v'(x): as derivadas de u e v, respectivamente.

Passo 3

Identificamos as duas funções que compõem o produto:
u(x)=2x,\qquad v(x)=\ln\bigl(\cos(x)\bigr).

Passo 4

Derivada de u(x)=2x. A derivada de ax (com a constante) é a. Portanto
u'(x)=2.

Passo 5

Agora precisamos de v'(x), a derivada de v(x)=\ln\bigl(\cos(x)\bigr). Vamos usar a regra da cadeia e a derivada do logaritmo.
Regra da cadeia (forma verbal): se v(x)=f(g(x)), então v'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
No nosso caso:
  • f(t)=\ln(t) com t=\cos(x).
  • g(x)=\cos(x).
Derivada de f(t)=\ln(t) é f'(t)=\dfrac{1}{t}.
Derivada de g(x)=\cos(x) é g'(x)=-\sin(x).
Aplicando a regra da cadeia:
v'(x)=\frac{1}{\cos(x)}\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr).

Passo 6

Simplificando v'(x):
v'(x)=-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.
E como \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\tan(x), obtemos
v'(x)=-\tan(x).

Passo 7

Agora aplicamos a regra do produto com u,u',v,v' já calculados:
y' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo:
y' = 2\cdot\ln\bigl(\cos(x)\bigr) + (2x)\cdot\bigl(-\tan(x)\bigr).

Passo 8

Simplificando a expressão:
y' = 2\ln\bigl(\cos(x)\bigr) - 2x\tan(x).
Podemos também fatorar 2, se preferir:
y' = 2\bigl(\ln\bigl(\cos(x)\bigr) - x\tan(x)\bigr).

Resposta

y' = 2\ln\bigl(\cos(x)\bigr) - 2x\tan(x)

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