Questāo 2 (12 pts): Encontre a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede claramente a derivada da função
Informações dadas:
- A função é o produto de duas funções:
e . - O objetivo é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta chave: a regra do produto. Se tivermos duas funções
e
, a derivada do produto
é dada por
Aqui cada símbolo significa:
-
e : as duas funções que se multiplicam. -
e : as derivadas de e , respectivamente.
Passo 3
Identificamos as duas funções que compõem o produto:
Passo 4
Derivada de
. A derivada de
(com
constante) é
. Portanto
Passo 5
Agora precisamos de
, a derivada de
. Vamos usar a regra da cadeia e a derivada do logaritmo.
Regra da cadeia (forma verbal): se
, então
.
No nosso caso:
-
com . -
.
Derivada de
é
.
Derivada de é
.
Derivada de
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Simplificando
:
E como
, obtemos
Passo 7
Agora aplicamos a regra do produto com
já calculados:
Substituindo:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Podemos também fatorar
, se preferir: