Questāo 1(8 \mathrm{pts}) : Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdaderra, explique o por quê. Caso contrário, explique o por quê ou dê um exemplo que é falso.
Se h(x)=f(g(\ln (x))), f^{\prime}(4)=5, g\left(\frac{1}{2}\right)=4 e g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{e}, então h^{\prime}(\sqrt{e})=5.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei estes números do enunciado):
  • h(x)=f(g(\ln(x))).
  • f^{\prime}(4)=5.
  • g\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=4.
  • g^{\prime}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{e}.
A pergunta é: a afirmação “ h^{\prime}(\sqrt{e})=5” é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou fornecer um contraexemplo.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar uma expressão geral para h^{\prime}(x). Vou ensinar a regra do produto de forma clara e passo a passo (ops: quis dizer a regra da cadeia — muito usada para composições).
Regra da cadeia (forma básica): se H(x)=F(U(x)), então
H^{\prime}(x)=F^{\prime}(U(x))\cdot U^{\prime}(x).
Aqui F é a função externa, U(x) é a função interna; F^{\prime}(U(x)) é a derivada de F avaliada na entrada U(x), e U^{\prime}(x) é a derivada da função interna.
No nosso caso temos três camadas: a função externa f, a intermediária g, e a interna \ln(x). Aplicando a regra da cadeia em cascata:
  • Seja u(x)=g(\ln(x)). Então h(x)=f(u(x)) e
h^{\prime}(x)=f^{\prime}(u(x))\cdot u^{\prime}(x).
  • Agora u(x)=g(v(x)) com v(x)=\ln(x). Aplicando a cadeia a u:
u^{\prime}(x)=g^{\prime}(v(x))\cdot v^{\prime}(x).
  • E finalmente v(x)=\ln(x) tem derivada conhecida
v^{\prime}(x)=\frac{1}{x}.
Substituindo tudo:
h^{\prime}(x)=f^{\prime}\big(g(\ln(x))\big)\cdot g^{\prime}\big(\ln(x)\big)\cdot\frac{1}{x}.
Explicando cada termo:
  • f^{\prime}\big(g(\ln(x))\big) é a derivada de f avaliada no valor g(\ln(x)).
  • g^{\prime}\big(\ln(x)\big) é a derivada de g avaliada em \ln(x).
  • \dfrac{1}{x} é a derivada de \ln(x).

Passo 3

Agora vamos avaliar em x=\sqrt{e}. Primeiro calcule a parte interna \ln(\sqrt{e}):
\ln\big(\sqrt{e}\big)=\ln\!\big(e^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Usando o resultado anterior e os dados do enunciado:
  • g(\ln(\sqrt{e}))=g\big(\tfrac{1}{2}\big)=4 (isso foi dado).
  • f^{\prime}\big(g(\ln(\sqrt{e}))\big)=f^{\prime}(4)=5 (isso foi dado).
  • g^{\prime}\big(\ln(\sqrt{e})\big)=g^{\prime}\big(\tfrac{1}{2}\big)=\sqrt{e} (isso foi dado).
  • \dfrac{1}{\sqrt{e}} é o valor de \dfrac{1}{x} em x=\sqrt{e}.

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula de h^{\prime}(x):
h^{\prime}(\sqrt{e}) = f^{\prime}\big(g(\ln(\sqrt{e}))\big)\cdot g^{\prime}\big(\ln(\sqrt{e})\big)\cdot\frac{1}{\sqrt{e}} = 5\cdot \sqrt{e}\cdot \frac{1}{\sqrt{e}}.
Simplificando \sqrt{e}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{e}}=1, obtemos
h^{\prime}(\sqrt{e})=5.

Passo 6

Portanto a afirmação é verdadeira; a razão é que, ao derivar a composição f(g(\ln x)) aparece um fator g^{\prime}(\ln x) multiplicado por \tfrac{1}{x}, e no ponto x=\sqrt{e} esses dois fatores se anulam ( \sqrt{e}\cdot 1/\sqrt{e}=1), deixando apenas f^{\prime}(4)=5.

Resposta

Verdadeira: h^{\prime}(\sqrt{e})=5

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