Questāo
: Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdaderra, explique o por quê. Caso contrário, explique o por quê ou dê um exemplo que é falso.
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei estes números do enunciado):
-
. -
. -
. -
.
A pergunta é: a afirmação “
” é verdadeira ou falsa? Se for verdadeira, justificar; se for falsa, justificar ou fornecer um contraexemplo.
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar uma expressão geral para
. Vou ensinar a regra do produto de forma clara e passo a passo (ops: quis dizer a regra da cadeia — muito usada para composições).
Regra da cadeia (forma básica): se
, então
Aqui
é a função externa,
é a função interna;
é a derivada de
avaliada na entrada
, e
é a derivada da função interna.
No nosso caso temos três camadas: a função externa
, a intermediária
, e a interna
. Aplicando a regra da cadeia em cascata:
- Seja
. Então e
- Agora
com . Aplicando a cadeia a :
- E finalmente
tem derivada conhecida
Substituindo tudo:
Explicando cada termo:
-
é a derivada de avaliada no valor . -
é a derivada de avaliada em . -
é a derivada de .
Passo 3
Agora vamos avaliar em
. Primeiro calcule a parte interna
:
Passo 4
Usando o resultado anterior e os dados do enunciado:
-
(isso foi dado). -
(isso foi dado). -
(isso foi dado). -
é o valor de em .
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula de
:
Simplificando
, obtemos
Passo 6
Portanto a afirmação é verdadeira; a razão é que, ao derivar a composição
aparece um fator
multiplicado por
, e no ponto
esses dois fatores se anulam (
), deixando apenas
.
Resposta
Verdadeira: