Uma promoção de um mercado define que a cada 50 reais em compras, o cliente recebe 1 cupom para participar de um sorteio de um vale-compras de 500 reais. Os cupons são recebidos na hora do pagamento da compra no caixa e os valores que não foram convertidos em cupons não são cumulativos. Sendo x o valor da compra do cliente e y o número de cupons que o cliente recebe, qual a função que mostra a relação entre as variáveis x e y e que calcula a quantia de cupons a ser recebido pelo cliente a cada compra?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado diz que a cada
reais em compras o cliente recebe cupom. - Os cupons são entregues na hora do pagamento da compra no caixa.
- Os valores que não completam mais um bloco de
reais não são cumulativos (ou seja, não se somam com compras futuras). - As variáveis são:
= valor da compra (em reais) e = número de cupons recebidos nessa compra.
O que se pede: encontrar a função que relaciona
e
e que calcula quantos cupons o cliente recebe em cada compra.
Passo 2
Entendimento prático da regra (intuição): a cada bloco completo de
reais o cliente ganha
cupom. Isso significa que entre
e
reais o cliente recebe
cupons; entre
e
reais recebe
cupom; entre
e
reais recebe
cupons; e assim por diante. Note que em
(onde
é inteiro não-negativo) o cliente recebe exatamente
cupons.
Passo 3
Descrição matemática por intervalos (forma peça‑por‑peça): para todo inteiro
,
Essa é uma forma correta e explícita de escrever a função, mas fica mais compacto usar uma função conhecida: a função “parte inteira” ou “função piso” (floor).
Passo 4
Definição da função piso e porque ela serve aqui. A função piso é dada por: para qualquer número real
,
é o maior número inteiro menor ou igual a
. Exemplos:
-
. -
. -
.
Se aplicarmos isso a
, a ideia é contar quantos blocos completos de
cabem em
. Então o número de cupons é exatamente a parte inteira de
.
Passo 5
Escrevendo a função final e verificando com exemplos simples:
Verificações rápidas (exemplos):
- Para
, e cupons. - Para
, e cupom. - Para
, e cupons.
Isso bate com a regra da promoção e com a não cumulatividade (o resto após dividir pornão gera cupom).
Passo 6
Observações finais para a prova:
- Domínio natural para usar:
(valor de compra). - Contraponto: se o enunciado aceitasse acumulamento de restos entre compras, a fórmula seria diferente; aqui não há acumulação, então piso é a ferramenta correta.
- Em linguagens de programação, a expressão correspondente costuma ser algo como
y = int(x/50)(ou divisão inteira), mas em matemática a notação correta é o piso.