Uma promoção de um mercado define que a cada 50 reais em compras, o cliente recebe 1 cupom para participar de um sorteio de um vale-compras de 500 reais. Os cupons são recebidos na hora do pagamento da compra no caixa e os valores que não foram convertidos em cupons não são cumulativos. Sendo x o valor da compra do cliente e y o número de cupons que o cliente recebe, qual a função que mostra a relação entre as variáveis x e y e que calcula a quantia de cupons a ser recebido pelo cliente a cada compra?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado diz que a cada \,50 reais em compras o cliente recebe 1 cupom.
  • Os cupons são entregues na hora do pagamento da compra no caixa.
  • Os valores que não completam mais um bloco de \,50 reais não são cumulativos (ou seja, não se somam com compras futuras).
  • As variáveis são: x = valor da compra (em reais) e y = número de cupons recebidos nessa compra.
O que se pede: encontrar a função que relaciona x e y e que calcula quantos cupons o cliente recebe em cada compra.

Passo 2

Entendimento prático da regra (intuição): a cada bloco completo de \,50 reais o cliente ganha 1 cupom. Isso significa que entre \,0 e \,49{,}99\ldots reais o cliente recebe 0 cupons; entre \,50{,}00 e \,99{,}99\ldots reais recebe 1 cupom; entre \,100{,}00 e \,149{,}99\ldots reais recebe 2 cupons; e assim por diante. Note que em \,x=50k (onde k é inteiro não-negativo) o cliente recebe exatamente k cupons.

Passo 3

Descrição matemática por intervalos (forma peça‑por‑peça): para todo inteiro k\ge 0,
\text{se }50k \le x < 50(k+1)\quad\text{então}\quad y=k.ã
Essa é uma forma correta e explícita de escrever a função, mas fica mais compacto usar uma função conhecida: a função “parte inteira” ou “função piso” (floor).

Passo 4

Definição da função piso e porque ela serve aqui. A função piso é dada por: para qualquer número real z, \lfloor z\rfloor é o maior número inteiro menor ou igual a z. Exemplos:
  • \lfloor 2{,}4\rfloor = 2.
  • \lfloor 3\rfloor = 3.
  • \lfloor 0{,}99\rfloor = 0.
Se aplicarmos isso a \dfrac{x}{50}, a ideia é contar quantos blocos completos de \,50 cabem em x. Então o número de cupons é exatamente a parte inteira de \dfrac{x}{50}.

Passo 5

Escrevendo a função final e verificando com exemplos simples:
y=\left\lfloor \dfrac{x}{50} \right\rfloor,\qquad x\ge 0.
Verificações rápidas (exemplos):
  • Para x=49{,}99, \dfrac{x}{50}\approx 0{,}9998 e \left\lfloor\dfrac{x}{50}\right\rfloor=0 cupons.
  • Para x=50, \dfrac{x}{50}=1 e \left\lfloor\dfrac{x}{50}\right\rfloor=1 cupom.
  • Para x=120, \dfrac{x}{50}=2{,}4 e \left\lfloor\dfrac{x}{50}\right\rfloor=2 cupons.
    Isso bate com a regra da promoção e com a não cumulatividade (o resto após dividir por \,50 não gera cupom).

Passo 6

Observações finais para a prova:
  • Domínio natural para usar: x\ge 0 (valor de compra).
  • Contraponto: se o enunciado aceitasse acumulamento de restos entre compras, a fórmula seria diferente; aqui não há acumulação, então piso é a ferramenta correta.
  • Em linguagens de programação, a expressão correspondente costuma ser algo como y = int(x/50) (ou divisão inteira), mas em matemática a notação correta é o piso \lfloor\cdot\rfloor.

Resposta

y=\left\lfloor \dfrac{x}{50} \right\rfloor,\quad x\ge 0

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