Questão 6.

Verifique que f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos \left(n^{2} x+2\right)+\operatorname{sen}\left((n+1)^{2}-2\right)}{n^{3}+n} é uma série uniformemente convergente em \mathbb{R}. Além disso, mostre que f é contínua em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos\bigl(n^{2}x+2\bigr)+\operatorname{sen}\bigl((n+1)^{2}-2\bigr)}{n^{3}+n}
e pede para mostrar que essa série de funções converge uniformemente em \mathbb{R} e que sua soma f é contínua. Vamos usar o Teste de Weierstrass (ou M‐teste) para a convergência uniforme e em seguida lembrar que o limite uniforme de funções contínuas é contínuo.

Passo 2

Para aplicar o M‐teste, note que, para todo x\in\mathbb{R} e todo n\ge1,
\bigl|\cos\bigl(n^{2}x+2\bigr)+\operatorname{sen}\bigl((n+1)^{2}-2\bigr)\bigr|\le|\cos(\cdot)|+|\operatorname{sen}(\cdot)|\le1+1=2.
Logo o termo geral da série satisfaz
\left|\frac{\cos\bigl(n^{2}x+2\bigr)+\operatorname{sen}\bigl((n+1)^{2}-2\bigr)}{n^{3}+n}\right| \le\frac{2}{n^{3}+n}.

Passo 3

Agora observe que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{3}+n}
é uma série numérica convergente, pois n^{3}+n\ge n^{3} implica
\frac{2}{n^{3}+n}\le\frac{2}{n^{3}}
e \sum2/n^{3} é um p-série com p=3>1. Pelo Teste de Weierstrass, a série de funções converge uniformemente em \mathbb{R}.

Passo 4

Cada soma parcial
S_{N}(x)=\sum_{n=1}^{N}\frac{\cos\bigl(n^{2}x+2\bigr)+\operatorname{sen}\bigl((n+1)^{2}-2\bigr)}{n^{3}+n}
é contínua (soma finita de funções contínuas). Como houve convergência uniforme S_{N}\to f, o limite f também é contínuo em \mathbb{R}.

Resposta

A série converge uniformemente em \mathbb{R} e sua soma f é contínua em \mathbb{R}.

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