Questão-12. (UFAM, adaptada). O Encontro das Águas é um fenômeno que acontece na confluência entre o rio Negro, de água negra, e o rio Solimões, de água barrenta. É uma das principais atrações turísticas da cidade de Manaus. As águas dos dois rios correm lado a lado sem se misturar por uma extensão de mais
de 6 km . Esse fenômeno acontece em decorrência da diferença de temperatura e densidade dessas águas, além da diferença de velocidade das correntezas. Uma equipe de pesquisadores da UFAM mediu a temperatura (em ^circ C ) da água no Encontro das Águas durante dois dias, em intervalos de 1 hora. A medição começou a ser feita às 2 horas do primeiro dia (t=0) e terminou 48 horas depois (t=48). Os dados resultaram na função f(t)=24+8. sen (3 pi2-pi12 t), onde t indica o tempo (em horas) e f(t) a temperatura ( e m ^circ C ) no instante t. Qual a temperatura máxima e o horário em que essa temperatura ocorreu?

Passo 1

O enunciado dá a variação da temperatura ao longo do tempo por
f(t)=24+8sin!l(3pi2-pi12tr),
com t em horas contado a partir de t=0 às 2 h do primeiro dia.
O conteúdo é análise de função senoidal: amplitude, offset vertical e condição de máximo quando o seno vale 1.

Passo 2

Em uma senóide genérica A+Bsin(phi(t)), o máximo ocorre quando sin(phi(t))=1. Aqui identificamos:
amplitude =8, reta média =24, phi(t)=3pi2-pi12t é

Passo 3

A condição de máximo é
sin(phi(t))=1Long<=ftrightarrow phi(t)=pi2+2kpi, kinZ

Passo 4

Substituindo phi(t):
3pi2-pi12t=pi2+2kpi ;Longrightarrow; pi-pi12t=2kpi ;Longrightarrow; -pi12t=pi(2k-1) ;Longrightarrow; t=12(1-2k)

Passo 5

Procuramos t em [0,48]:
  • Para k=0: t=12.
  • Para k=-1: t=36.
    Valores como t<0 ou t>48 ficam fora do intervalo medido.

Passo 6

Convertendo para horário de relógio (contando que t=0 é 2 h):
  • t=12 corresponde a 2,h+12,h=14,h do primeiro dia.
  • t=36 corresponde a 2,h+36,h=38,h, que é 14,h do segundo dia.
    Em ambos os instantes sin(phi)=1, então
fmax=24+8cdot1=32,^circC

Resposta

A temperatura máxima é 32,^circC, ocorrendo às 14 h do primeiro dia e novamente às 14 h do segundo dia.

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