Considere o sistema dotx=Ai x, i in1,2, com as matrizes a seguir e responda as alternativas.
A1=[cc 0 & 1 0 & -3 ], A2=[cc 0 & 1 -3 & 0 ]
a) Apenas observando a estrutura das matrizes, é possível concluir se o sistema chaveado em malha fechada é estabilizável com qualquer lei de chaveamento?
b) Implemente a lei de chaveamento dada por
sigma(x(t)):=arg min i in mathscrMvi(x(t)), vi(x(t))=x^prime Pi x
onde
P1=[cc 3.8 & 0.37 0.37 & 1.5 ], P2=[cc 3.6 & 0.07 0.07 & 1.4 ]
c) Implemente a lei de chaveamento dada por
sigma(x(t)):=arg max i in mathscrMvi(x(t)), vi(x(t))=x^prime Pi x,
onde
P1=[cc 3.6 & 0.07 0.07 & 1.4 ], P2=[cc 3.8 & 0.37 0.37 & 1.5 ]
d) Implemente a lei de chaveamento dada por
sigma(x(t)):=arg min i in mathscrMdotvi(x(t)), dotvi(x(t))=x^prime(Ai^prime P+P Ai) x,
onde
P=[cc 2.5 & 0.2 0.2 & 1 ]
e) Para as três leis de chaveamento anteriores, observe o comportamento das funções vi, i in1,2, ou das dotvi, i in1,2, no terceiro caso. Observe também o sinal de chaveamento. Em algum dos casos, ocorreu o fenômeno de modo deslizante?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema com dois modos
dot x = Ai x, iin1,2,
onde
A1=0&10&-3, A2=0&1-3&0
Queremos (a) saber se qualquer chaveamento arbitrário já garante estabilidade (ou seja, se cada Ai é Hurwitz); nas alíneas (b–d) implementar três leis de chaveamento baseadas em funções quadráticas vi(x)=x'Pi x ou em suas derivadas dot vi; e em (e) verificar se aparece modo deslizante (sliding) sobre as superfícies de troca.

Passo 2

Para que um sistema chaveado seja globalmente assintoticamente estável sob qualquer lei de chaveamento (ou seja, sem impor dwell‐time ou lógica especial), cada modo Ai tem de ser Hurwitz.
– O autovalor de A1 satisfaz
det(-lambda,;1;;0,-3-lambda)=lambda(lambda+3)=0,
logo lambdain0,-3: um modo marginalmente estável e um estável.
– Para A2
det(-lambda,;1;;-3,-lambda)=lambda^2+3=0
lambda=pm jraiz3, modo puramente oscilatório.
Como nenhum dos dois é Hurwitz, concluímos que não há estabilidade garantida para chaveamento arbitrário.

Passo 3

Lei (b):
com
Defina
então
Logo
á
Lei (c):
com , mas agora escolhe‐se o modo 1 quando
, e o modo 2 caso contrário.

Passo 4

Lei (d):
sigma(x)=argminidot vi(x), dot vi(x)=x'l(Ai'P+P,Air)x,
com
P=2.5&0.20.2&1
Calcula‐se
Q1=A1'P+PA1 =0&1.91.9&-5.6, Q2=A2'P+PA2 =-1.2&-0.5-0.5&0.4
Seja N=Q1-Q2=1.2&2.42.4&-6. Então
dot v1<dot v2;Long<=ftrightarrow;x'Nx<0 ;Long<=ftrightarrow;1.2x1^2+4.8x1x2-6x2^2<0,
e a lei fica
sigma(x)= 1,&1.2x1^2+4.8x1x2-6x2^2<0, 2,&caso contrário á

Passo 5

Observando as três leis, todas têm superfícies de troca definidas por formas quadráticas indefinidas (hipérboles). Sobre essas superfícies pode ocorrer chattering ou sliding, pois os vetores de dinâmica de cada modo podem apontar para lados opostos da superfície. Nas regras (b) e (c), justamente na curva 2x1^2+6x1x2+x2^2=0 o sistema muda de modo e tipicamente gera modo deslizante (sliding) se os campos A1x e A2x apontarem para o interior da superfície. Na regra (d), como se escolhe o modo que mais reduz dot v, o vetor resultante tende a afastar‐se da superfície de troca, reduzindo ou mesmo evitando o sliding.

Resposta

a) Não: nenhum Ai é Hurwitz, logo chaveamento arbitrário não garante estabilidade.
b) sigma(x)=1 se 2x1^2+6x1x2+x2^2<0, caso contrário sigma(x)=2.
c) sigma(x)=1 se 2x1^2+6x1x2+x2^2>0, caso contrário sigma(x)=2.
d) sigma(x)=1 se 1.2x1^2+4.8x1x2-6x2^2<0, caso contrário sigma(x)=2.
e) Nas leis (b) e (c) ocorre sliding ao longo da hipérbole de troca; na lei (d) o sliding tende a não ocorrer.

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