Questão 14. Marcelo leva exatamente 20 minutos para ir de sua casa até a escola. Uma certa vez, durante o caminho, percebeu que esquecera em casa a revista Eureka! que ia mostrar para a classe; ele sabia que se continuasse a andar, chegaria à escola 8 minutos antes do sinal, mas se voltasse para pegar a revista, no mesmo passo, chegaria atrasado 10 minutos. Que fração do caminho já tinha percorrido neste ponto?
a) \frac{2}{5}
b) \frac{9}{20}
c) \frac{1}{2}
d) \frac{2}{3}
e) \frac{9}{10}

Passo 1

O enunciado pede: determinar qual fração do caminho entre a casa e a escola Marcelo já havia percorrido no momento em que percebeu que esquecera a revista.\n
Informações dadas:
  • O tempo total para ir de casa até a escola é \,20 minutos.
  • No ponto em que percebeu o esquecimento, se ele continuasse andando (mesma velocidade), chegaria \,8 minutos antes do sinal.
  • Se ele voltasse para buscar a revista e depois seguisse para a escola (mesma velocidade), chegaria \,10 minutos atrasado.
  • Presume-se que a velocidade de Marcelo é constante durante todo o trajeto.

Passo 2

Vamos definir variáveis para traduzir a situação em equações (isso ajuda muito nesses problemas de tempo e distância).\n
  • Seja D a distância total de casa até a escola (qualquer unidade de comprimento).
  • Seja v a velocidade constante de Marcelo (unidade de comprimento por minuto).
  • Seja x a distância já percorrida desde a casa até o ponto onde ele percebeu o esquecimento.\n
    Com essas definições:
  • O tempo total de casa até a escola é \displaystyle \frac{D}{v}=20 minutos (dado).
  • O tempo já gasto até esse ponto é \displaystyle \frac{x}{v}.
  • O tempo restante até a escola, se ele continuar, é \displaystyle \frac{D-x}{v}.
  • Se ele voltar para casa e depois for até a escola, o tempo a partir desse ponto será \displaystyle \frac{x}{v} + \frac{D}{v} (volta até a casa: \frac{x}{v}; depois casa→escola: \frac{D}{v}).

Passo 3

Agora traduzimos as frases sobre “chegar 8 minutos antes” e “10 minutos atrasado” em equações usando uma variável auxiliar para o tempo até o sinal a partir do momento em que ele percebeu o esquecimento.\n
Seja T_b o tempo que falta até o sinal (o “tempo até o sinal”) contado a partir do instante em que ele percebeu o esquecimento. Então:
  • Se ele continuasse andando, chegaria 8 minutos antes do sinal, isto é, o tempo que levaria até a escola seria T_b - 8. Por outro lado esse tempo é \displaystyle \frac{D-x}{v}. Assim:
\frac{D-x}{v} = T_b - 8.
  • Se ele voltasse para buscar a revista, chegaria 10 minutos depois do sinal, isto é, o tempo que levaria até a escola seria T_b + 10. Por outro lado esse tempo é \displaystyle \frac{x}{v} + \frac{D}{v}. Assim:
\frac{x}{v} + \frac{D}{v} = T_b + 10.

Passo 4

Agora eliminamos T_b subtraindo a primeira equação da segunda para obter uma relação só entre x, D e v.\n
Subtraindo:
\left(\frac{x}{v} + \frac{D}{v}\right) - \frac{D-x}{v} = (T_b + 10) - (T_b - 8).
No lado direito T_b cancela e sobra 10 - (-8)=18. No lado esquerdo fazemos as contas com cuidado:
\frac{x}{v} + \frac{D}{v} - \frac{D-x}{v} = \frac{x + D - (D - x)}{v} = \frac{x + D - D + x}{v} = \frac{2x}{v}.
Portanto:
\frac{2x}{v} = 18.

Passo 5

Da igualdade \displaystyle \frac{2x}{v} = 18 obtemos
\frac{x}{v} = 9.
Interpretando: \displaystyle \frac{x}{v} é o tempo já gasto desde a saída de casa até o ponto onde ele percebeu o esquecimento; esse tempo é \,9 minutos.

Passo 6

Queremos a fração do caminho já percorrida, ou seja \displaystyle \frac{x}{D}. Usamos que o tempo total é \displaystyle \frac{D}{v}=20. Então
\frac{x}{D} = \frac{\frac{x}{v}}{\frac{D}{v}} = \frac{9}{20}.

Passo 7

Interpretação rápida: Marcelo já andou \,9 minutos de um total de \,20 minutos do trajeto, logo percorreu \frac{9}{20} do caminho. Dá pra checar: se continua, resta \,11 minutos e chega 8 minutos antes do sinal (logo faltavam 19 minutos até o sinal? mas a equação anterior garantiu consistência); se volta, gasta 9+20=29 minutos a partir daquele ponto, ou seja 10 minutos depois do sinal — tudo bate com os dados.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{20}

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