Questão 14. Marcelo leva exatamente 20 minutos para ir de sua casa até a escola. Uma certa vez, durante o caminho, percebeu que esquecera em casa a revista Eureka! que ia mostrar para a classe; ele sabia que se continuasse a andar, chegaria à escola 8 minutos antes do sinal, mas se voltasse para pegar a revista, no mesmo passo, chegaria atrasado 10 minutos. Que fração do caminho já tinha percorrido neste ponto?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede: determinar qual fração do caminho entre a casa e a escola Marcelo já havia percorrido no momento em que percebeu que esquecera a revista.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- O tempo total para ir de casa até a escola é
minutos. - No ponto em que percebeu o esquecimento, se ele continuasse andando (mesma velocidade), chegaria
minutos antes do sinal. - Se ele voltasse para buscar a revista e depois seguisse para a escola (mesma velocidade), chegaria
minutos atrasado. - Presume-se que a velocidade de Marcelo é constante durante todo o trajeto.
Passo 2
Vamos definir variáveis para traduzir a situação em equações (isso ajuda muito nesses problemas de tempo e distância).\n
- Seja
a distância total de casa até a escola (qualquer unidade de comprimento). - Seja
a velocidade constante de Marcelo (unidade de comprimento por minuto). - Seja
a distância já percorrida desde a casa até o ponto onde ele percebeu o esquecimento.\n
Com essas definições: - O tempo total de casa até a escola é
minutos (dado). - O tempo já gasto até esse ponto é
. - O tempo restante até a escola, se ele continuar, é
. - Se ele voltar para casa e depois for até a escola, o tempo a partir desse ponto será
(volta até a casa: ; depois casa→escola: ).
Passo 3
Agora traduzimos as frases sobre “chegar 8 minutos antes” e “10 minutos atrasado” em equações usando uma variável auxiliar para o tempo até o sinal a partir do momento em que ele percebeu o esquecimento.\n
Seja o tempo que falta até o sinal (o “tempo até o sinal”) contado a partir do instante em que ele percebeu o esquecimento. Então:
Seja
- Se ele continuasse andando, chegaria
minutos antes do sinal, isto é, o tempo que levaria até a escola seria . Por outro lado esse tempo é . Assim:
- Se ele voltasse para buscar a revista, chegaria
minutos depois do sinal, isto é, o tempo que levaria até a escola seria . Por outro lado esse tempo é . Assim:
Passo 4
Agora eliminamos
subtraindo a primeira equação da segunda para obter uma relação só entre
,
e
.\n
Subtraindo:
Subtraindo:
No lado direito
cancela e sobra
. No lado esquerdo fazemos as contas com cuidado:
Portanto:
Passo 5
Da igualdade
obtemos
Interpretando:
é o tempo já gasto desde a saída de casa até o ponto onde ele percebeu o esquecimento; esse tempo é
minutos.
Passo 6
Queremos a fração do caminho já percorrida, ou seja
. Usamos que o tempo total é
. Então
Passo 7
Interpretação rápida: Marcelo já andou
minutos de um total de
minutos do trajeto, logo percorreu
do caminho. Dá pra checar: se continua, resta
minutos e chega 8 minutos antes do sinal (logo faltavam
minutos até o sinal? mas a equação anterior garantiu consistência); se volta, gasta
minutos a partir daquele ponto, ou seja 10 minutos depois do sinal — tudo bate com os dados.