Ar seco a 25^{\circ} \mathrm{C} escoa, com velocidade de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sobre uma esfera aquecida de metal de 20 cm de diâmetro com temperatura superficial de 400^{\circ} \mathrm{C}. O processo de transferência de calor acontece via convecção forçada, e deseja-se obter uma temperatura na superfície de 300^{\circ} \mathrm{C}. Determine o tempo de resfriamento necessário para atingir a temperatura desejada. Propriedades do metal: massa específica =8060 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; calor específico a pressão constante =490 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Dados fornecidos:
Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}.
Velocidade do ar: U=5\\ \mathrm{m/s}.
Esfera metálica de diâmetro D=0{,}20\\ \mathrm{m} (logo raio r=0{,}10\\ \mathrm{m}).
Temperatura inicial da superfície metálica: T_{i}=400^\circ\mathrm{C}.
Temperatura alvo na superfície: T=300^\circ\mathrm{C}.
Propriedades do metal fornecidas:
massa específica \rho_{m}=8060\\ \mathrm{kg/m^{3}},
Determinar o tempo de resfriamento necessário para a superfície atingir T=300^\circ\mathrm{C}, considerando convecção forçada com o ar em movimento.
Observações importantes (que vou tratar nas etapas seguintes): falta no enunciado a condutividade térmica do metal (k) e propriedades do ar necessárias para calcular o coeficiente de convecção h. Vou adotar valores típicos razoáveis e explicitar essas hipóteses, e também verificarei a validade do modelo de corpo com resistência interna desprezível (modelo de capacitância concentrada, “lumped capacitance”) através do número de Biot.
Passo 2
Estratégia física e fórmula do modelo de acumulação (modelo de lumped capacitance):
Se a resistência interna do sólido for pequena comparada à resistência de convecção na superfície, podemos usar o modelo de capacitância concentrada. Nesse modelo a temperatura do sólido é uniforme e decai exponencialmente:
viscosidade cinemática aproximada: \nu\approx 4{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s} (ordem de grandeza para ar em temperaturas elevadas);
condutividade térmica do ar: k_{\mathrm{ar}}\approx 0{,}045\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Justificativa curta: esses valores são aproximados mas típicos para ar entre 300–500 K; isto permite estimar h por correlações empíricas sem uma tabela completa.
Observação: usando pequenas variações nas propriedades (por exemplo k_{\mathrm{ar}}=0{,}05 ou \nu um pouco menor) obtém-se h na faixa de aproximadamente 20 a 30\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}. Para ser prático, vou adotar o valor arredondado
h \approx 25\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)},
que está dentro da faixa estimada e é consistente com o cálculo acima. Vou explicitar que este h é uma estimativa com as hipóteses dadas.
Passo 5
Verificação do número de Biot para justificar o modelo lumped:
Primeiro o comprimento característico para esfera:
Como não foi dada a condutividade térmica do metal k, escolho um valor típico para um aço/metal denso compatível com a densidade fornecida \rho_{m}=8060\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Um valor razoável de referência é
k_{\text{metal}}\approx 43\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} \quad\text{(condutividade típica de aço carbono)}.íç
Como \mathrm{Bi}\ll 0{,}1, a resistência térmica interna do sólido é muito menor que a resistência de convecção na superfície, então o modelo de lumped capacitance (temperatura uniforme no sólido) é válido. Comentário: se o metal fosse de condutividade muito menor (por exemplo um aço inoxidável muito pouco condutor) isto poderia dar \mathrm{Bi} maior; aqui a hipótese é razoável dada a densidade e propriedades típicas de metais.
Resultado final com as hipóteses adotadas: o tempo de resfriamento é cerca de 1{,}63\times 10^{3}\\ \mathrm{s} (≈ 27{,}2 minutos).
Fontes de incerteza principais:
A estimativa de h depende de propriedades do ar adotadas (viscosidade, condutividade) e da correlação usada; variações nessas propriedades fariam h variar entre ~20 e ~30 W/m^2K, o que muda o tempo de algumas dezenas de porcento.
A condutividade térmica do metal k foi assumida como 43\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. Se o metal tiver k significativamente menor, o número de Biot cresceria e o modelo lumped poderia falhar.
Se for necessário maior precisão na prova: peça/consulte tabelas com propriedades do ar na temperatura de filme e a condutividade real do metal; então refaça o cálculo do h e do tempo.
Força aí — a ideia central para a prova é: verificar Biot (para justificar lumped), estimar h com uma correlação empírica, calcular m, A e usar a fórmula exponencial. Com isso você resolve esse tipo de problema direto na prova.
Resposta
t \approx 1{,}63\times10^{3}\\ \mathrm{s} \approx 27{,}2\\ \mathrm{min}