Questão 2 (1,125 pontos)

Ar seco a 25^{\circ} \mathrm{C} escoa, com velocidade de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sobre uma esfera aquecida de metal de 20 cm de diâmetro com temperatura superficial de 400^{\circ} \mathrm{C}. O processo de transferência de calor acontece via convecção forçada, e deseja-se obter uma temperatura na superfície de 300^{\circ} \mathrm{C}. Determine o tempo de resfriamento necessário para atingir a temperatura desejada. Propriedades do metal: massa específica =8060 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; calor específico a pressão constante =490 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do ar ambiente: T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}.
    • Velocidade do ar: U=5\\ \mathrm{m/s}.
    • Esfera metálica de diâmetro D=0{,}20\\ \mathrm{m} (logo raio r=0{,}10\\ \mathrm{m}).
    • Temperatura inicial da superfície metálica: T_{i}=400^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura alvo na superfície: T=300^\circ\mathrm{C}.
    • Propriedades do metal fornecidas:
      • massa específica \rho_{m}=8060\\ \mathrm{kg/m^{3}},
      • calor específico c_{p}=490\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o tempo de resfriamento necessário para a superfície atingir T=300^\circ\mathrm{C}, considerando convecção forçada com o ar em movimento.
Observações importantes (que vou tratar nas etapas seguintes): falta no enunciado a condutividade térmica do metal ( k) e propriedades do ar necessárias para calcular o coeficiente de convecção h. Vou adotar valores típicos razoáveis e explicitar essas hipóteses, e também verificarei a validade do modelo de corpo com resistência interna desprezível (modelo de capacitância concentrada, “lumped capacitance”) através do número de Biot.

Passo 2

Estratégia física e fórmula do modelo de acumulação (modelo de lumped capacitance):
  • Se a resistência interna do sólido for pequena comparada à resistência de convecção na superfície, podemos usar o modelo de capacitância concentrada. Nesse modelo a temperatura do sólido é uniforme e decai exponencialmente:
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}=\exp\!\biggl(-\frac{h A}{m c_{p}}\,t\biggr).
Aqui:
  • T(t) é a temperatura do sólido no instante t.
  • T_{\infty} é a temperatura do fluido (ar) distante.
  • T_{i} é a temperatura inicial do sólido.
  • h é o coeficiente convectivo médio (W/m^2K).
  • A é a área de superfície do sólido (m^2).
  • m é a massa do sólido (kg).
  • c_{p} é o calor específico do sólido (J/kg·K).
Para usar esse modelo precisamos:
  1. Calcular m e A da esfera.
  2. Estimar h.
  3. Verificar o número de Biot
\mathrm{Bi}=\frac{h L_{c}}{k},
onde L_{c} é o comprimento característico do sólido; para uma esfera L_{c}=V/A=D/6. Se \mathrm{Bi}<0{,}1 o modelo lumped é geralmente aceitável.

Passo 3

Cálculo da geometria, massa e capacidade térmica:
  • Volume da esfera:
V=\frac{\pi D^{3}}{6}=\frac{\pi (0{,}20)^{3}}{6}=0{,}00418879\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Massa da esfera:
m=\rho_{m} V = 8060\cdot 0{,}00418879 = 33{,}776\\ \mathrm{kg}.
  • Área da superfície:
A=\pi D^{2}=\pi(0{,}20)^{2}=0{,}1256637\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Capacidade térmica do corpo:
m c_{p}=33{,}776\cdot 490 = 16\,548{,}2\\ \mathrm{J/K}.
(Valores numéricos mostrados com precisão adequada para as contas à mão.)

Passo 4

Estimativa do coeficiente convectivo h (hipóteses e cálculo):
O enunciado não fornece propriedades do ar. Vou usar a prática comum: avaliar propriedades do ar na temperatura de filme
T_{f}=\frac{T_{i}+T_{\infty}}{2}=\frac{400+25}{2}=212{,}5^\circ\mathrm{C}\quad(\approx 485\\ \mathrm{K}),
e adotar valores típicos aproximados nessa faixa:
  • número de Prandtl aproximado: \Pr\approx 0{,}7;
  • viscosidade cinemática aproximada: \nu\approx 4{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s} (ordem de grandeza para ar em temperaturas elevadas);
  • condutividade térmica do ar: k_{\mathrm{ar}}\approx 0{,}045\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Justificativa curta: esses valores são aproximados mas típicos para ar entre 300–500 K; isto permite estimar h por correlações empíricas sem uma tabela completa.
Cálculo do número de Reynolds baseado em D:
\mathrm{Re}=\frac{U D}{\nu}=\frac{5\cdot 0{,}20}{4{,}0\times10^{-5}}=25\,000.
Uso da correlação de Churchill–Bernstein (válida para convecção externa sobre esfera/cilindro em ampla faixa), escrita aqui em forma prática:
\overline{\mathrm{Nu}} = 2 + 0{,}4\,\mathrm{Re}^{1/2}\Pr^{1/3} + 0{,}06\,\mathrm{Re}^{2/3}\Pr^{0{,}4}.
Calculemos os termos (valores aproximados):
  • \mathrm{Re}^{1/2}\approx 158{,}11.
  • \mathrm{Re}^{2/3}\approx 855{,}0.
  • \Pr^{1/3}\approx 0{,}7^{1/3}\approx 0{,}887.
  • \Pr^{0{,}4}\approx 0{,}7^{0{,}4}\approx 0{,}867.
Portanto
\overline{\mathrm{Nu}}\approx 2 + 0{,}4\cdot158{,}11\cdot0{,}887 + 0{,}06\cdot855{,}0\cdot0{,}867 \approx 102{,}6.
Com isso o coeficiente convectivo médio é
h=\frac{\overline{\mathrm{Nu}}\,k_{\mathrm{ar}}}{D} \approx \frac{102{,}6\cdot 0{,}045}{0{,}20}\approx 23{,}1\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Observação: usando pequenas variações nas propriedades (por exemplo k_{\mathrm{ar}}=0{,}05 ou \nu um pouco menor) obtém-se h na faixa de aproximadamente 20 a 30\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}. Para ser prático, vou adotar o valor arredondado
h \approx 25\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)},
que está dentro da faixa estimada e é consistente com o cálculo acima. Vou explicitar que este h é uma estimativa com as hipóteses dadas.

Passo 5

Verificação do número de Biot para justificar o modelo lumped:
Primeiro o comprimento característico para esfera:
L_{c}=\frac{V}{A}=\frac{D}{6}=\frac{0{,}20}{6}=0{,}03333\\ \mathrm{m}.
Como não foi dada a condutividade térmica do metal k, escolho um valor típico para um aço/metal denso compatível com a densidade fornecida \rho_{m}=8060\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Um valor razoável de referência é
k_{\text{metal}}\approx 43\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} \quad\text{(condutividade típica de aço carbono)}.íç
Agora o número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_{c}}{k_{\text{metal}}}=\frac{25\cdot 0{,}03333}{43}\approx 0{,}0194.
Como \mathrm{Bi}\ll 0{,}1, a resistência térmica interna do sólido é muito menor que a resistência de convecção na superfície, então o modelo de lumped capacitance (temperatura uniforme no sólido) é válido. Comentário: se o metal fosse de condutividade muito menor (por exemplo um aço inoxidável muito pouco condutor) isto poderia dar \mathrm{Bi} maior; aqui a hipótese é razoável dada a densidade e propriedades típicas de metais.

Passo 6

Aplicação do modelo lumped e cálculo do tempo:
A equação do decaimento (repetindo) é
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}=\exp\!\biggl(-\frac{h A}{m c_{p}}\,t\biggr).
Isolando t:
t=-\frac{m c_{p}}{h A}\,\ln\!\left(\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}\right).
Substituindo os números (usar h=25\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}, m c_{p}=16\,548{,}2\\ \mathrm{J/K}, A=0{,}1256637\\ \mathrm{m^{2}}, T(t)=300^\circ\mathrm{C}, T_{i}=400^\circ\mathrm{C}, T_{\infty}=25^\circ\mathrm{C}):
  • Calculemos o argumento do ln:
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}=\frac{300-25}{400-25}=\frac{275}{375}=0{,}733333\ldots
  • Tempo característico:
\tau=\frac{m c_{p}}{h A}=\frac{16\,548{,}2}{25\cdot 0{,}1256637}=\frac{16\,548{,}2}{3{,}14159}\approx 5\,268{,}2\\ \mathrm{s}.
  • Então
t=-\tau\ln(0{,}733333)=5\,268{,}2\cdot 0{,}310154\approx 1\,633{,}1\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
t\approx 1\,633{,}1\\ \mathrm{s}\approx 27{,}22\\ \mathrm{min}.

Passo 7

Interpretação, vértices de incerteza e incentivo:
  • Resultado final com as hipóteses adotadas: o tempo de resfriamento é cerca de 1{,}63\times 10^{3}\\ \mathrm{s} (≈ 27{,}2 minutos).
  • Fontes de incerteza principais:
    • A estimativa de h depende de propriedades do ar adotadas (viscosidade, condutividade) e da correlação usada; variações nessas propriedades fariam h variar entre ~20 e ~30 W/m^2K, o que muda o tempo de algumas dezenas de porcento.
    • A condutividade térmica do metal k foi assumida como 43\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}. Se o metal tiver k significativamente menor, o número de Biot cresceria e o modelo lumped poderia falhar.
  • Se for necessário maior precisão na prova: peça/consulte tabelas com propriedades do ar na temperatura de filme e a condutividade real do metal; então refaça o cálculo do h e do tempo.
Força aí — a ideia central para a prova é: verificar Biot (para justificar lumped), estimar h com uma correlação empírica, calcular m, A e usar a fórmula exponencial. Com isso você resolve esse tipo de problema direto na prova.

Resposta

t \approx 1{,}63\times10^{3}\\ \mathrm{s} \approx 27{,}2\\ \mathrm{min}

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