1. (3,0) Os reservatórios A , B e C possuem nível constante de 150,120 e 90 m , respectivamente. Um tubo de 300 mm e comprimen 1,6 \mathrm{~km} deixa o reservatório A e segue para um ponto O, onde a tubulação se divide: um tubo de 200 mm com 1,6 \mathrm{~km} comprimento sai de O para B e um tubo de 150 mm com 2,4 \mathrm{~km} de comprimento sai de O para C . Supondo f=0,020, calcule vazões nas tubulações.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Níveis (cotas) dos reservatórios: h_A=150\\ \text{m}, h_B=120\\ \text{m}, h_C=90\\ \text{m}.
  • Tubulação A\to O: diâmetro D_1=0,300\\ \text{m}, comprimento L_1=1{,}6\\ \text{km}=1600\\ \text{m}.
  • Tubulação O\to B: diâmetro D_2=0,200\\ \text{m}, comprimento L_2=1{,}6\\ \text{km}=1600\\ \text{m}.
  • Tubulação O\to C: diâmetro D_3=0,150\\ \text{m}, comprimento L_3=2{,}4\\ \text{km}=2400\\ \text{m}.
  • Fator de atrito de Darcy: f=0{,}020.
  • A gravidade: g=9{,}81\\ \text{m/s}^2 (valor padrão).
O enunciado pede: calcular as vazões nas tubulações (isto é, as vazões Q_{AO} na tubulação de A para O, Q_{OB} de O para B e Q_{OC} de O para C).
Observações de leitura: como os reservatórios têm superfície livre a nível constante, podemos aplicar a equação de energia entre superfícies livres dos reservatórios A, B e C e as perdas de carga nas tubulações. Além disso vale a conservação de vazão no nó O: Q_{AO}=Q_{OB}+Q_{OC}.

Passo 2

Equações físicas que vou usar (explicando bem):
  • Equação de energia entre superfícies livres de dois reservatórios conectados por tubulação: a diferença de cotas é igual à soma das perdas de carga na linha que liga os reservatórios. Por exemplo, entre A e B:
h_A-h_B = h_{f,AO} + h_{f,OB}.
Isto porque a velocidade nas superfícies é desprezível e as pressões são atmosféricas em ambas; portanto a perda total é a queda de carga entre as superfícies. Mesma ideia para A e C:
h_A-h_C = h_{f,AO} + h_{f,OC}.
  • Perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach) numa tubulação circular:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy (dado), L comprimento da tubulação, D diâmetro, V velocidade média do escoamento e g a gravidade.
  • Relação entre vazão Q e velocidade média V:
V=\frac{Q}{A}, \qquad A=\frac{\pi D^2}{4},
onde A é a área da secção transversal.
  • Substituindo V=Q/A em Darcy–Weisbach obtemos uma dependência quadrática:
h_f = \underbrace{\left( f\frac{L}{D}\frac{1}{2gA^2}\right)}_{k}\;Q^2 = k\,Q^2.
Vou calcular os coeficientes k de cada trecho e montar o sistema para Q_{OB} e Q_{OC}, lembrando que Q_{AO}=Q_{OB}+Q_{OC}.

Passo 3

Calcular áreas das secções (usar \pi e fórmulas acima):
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi (0,300)^2}{4}=\pi\cdot 0,0225=0,0706858\\ \text{m}^2,
A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}=\frac{\pi (0,200)^2}{4}=\pi\cdot 0,01=0,0314159\\ \text{m}^2,
A_3=\frac{\pi D_3^2}{4}=\frac{\pi (0,150)^2}{4}=\pi\cdot 0,005625=0,0176715\\ \text{m}^2.
Expliquei: A_i é a área da secção para o diâmetro D_i. Os valores foram obtidos pegando os diâmetros do enunciado.

Passo 4

Calcular os coeficientes k_i para cada trecho usando
k = f\frac{L}{D}\frac{1}{2gA^2}.
Vou calcular L/D primeiro:
\frac{L_1}{D_1}=\frac{1600}{0,300}=5333{,}333\ldots, \qquad \frac{L_2}{D_2}=\frac{1600}{0,200}=8000, \qquad \frac{L_3}{D_3}=\frac{2400}{0,150}=16000.
Agora 2g=19{,}62. Então
k_1=0{,}020\cdot\frac{5333{,}333}{19{,}62\cdot(0,0706858)^2}\approx 1088{,}5,
k_2=0{,}020\cdot\frac{8000}{19{,}62\cdot(0,0314159)^2}\approx 8272{,}7,
k_3=0{,}020\cdot\frac{16000}{19{,}62\cdot(0,0176715)^2}\approx 52179.
Breve comentário didático: esses k_i têm unidades tais que, quando multiplicados por Q^2 (com Q em \text{m}^3/\text{s}), dão perdas de carga em metros. Note como tubos menores (menor A e maior L/D) geram k muito maiores: pequena vazão numa tubulação fina já produz perdas grandes.

Passo 5

Escrevendo as equações de energia com os k:
Diferenças de cotas:
h_A-h_B = 150-120 = 30\\ \text{m}, \qquad h_A-h_C = 150-90 = 60\\ \text{m}.
As equações são
30 = k_1 Q_1^2 + k_2 Q_2^2, \qquad 60 = k_1 Q_1^2 + k_3 Q_3^2,
e a continuidade no nó O:
Q_1 = Q_2 + Q_3,
onde Q_1\equiv Q_{AO}, Q_2\equiv Q_{OB}, Q_3\equiv Q_{OC}.
Explicando: em cada equação a primeira parcela k_1 Q_1^2 é a perda no trecho A\to O, comum às duas rotas A→B e A→C; as outras parcelas são as perdas nos ramos O→B e O→C.

Passo 6

Eliminar k_1 Q_1^2 subtraindo as duas equações (essa é uma técnica útil para reduzir incógnitas):
(60)-(30) \Rightarrow 30 = k_3 Q_3^2 - k_2 Q_2^2.
Logo
k_3 Q_3^2 - k_2 Q_2^2 = 30.
Isto dá uma relação entre Q_2 e Q_3. Rearranjando:
Q_2^2 = \frac{k_3}{k_2}Q_3^2 - \frac{30}{k_2}.
Com os k calculados:
Q_2^2 \approx 6{,}305\;Q_3^2 - 0{,}003626.
Note que, por ser Q_2^2 não-negativo, isso já impõe um limite mínimo para Q_3.

Passo 7

Agora substituo Q_1=Q_2+Q_3 na primeira equação para obter uma equação numa incógnita (por exemplo Q_3). A primeira equação é
30 = k_1(Q_2+Q_3)^2 + k_2 Q_2^2.
Substituindo Q_2^2 em função de Q_3^2 (e usando Q_2=\sqrt{Q_2^2}, coluna positiva pois as vazões são positivas) obtém-se uma equação cuja solução é numérica. Vou resolver numericamente de forma simples e prática (método por tentativa e aproximação): testar valores de Q_3, calcular Q_2 pela relação do Passo 6 e verificar a igualdade da equação de energia.
Vou mostrar as iterações principais (mastigadas para entender como convergir):
  • Teste rápido para ver intervalo viável: exigir Q_2^2\ge 0 Q_3\gtrsim\sqrt{0{,}003626/6{,}305}\approx 0{,}02398\\ \text{m}^3/\text{s}. Então Q_3 é maior que cerca de 0{,}024.
  • Teste Q_3=0{,}03\\ \text{m}^3/\text{s}: então Q_2\approx\sqrt{0{,}002049}=0{,}0453, Q_1=0{,}0753. Avaliando k_1 Q_1^2+k_2 Q_2^2 obtém-se cerca de 23{,}12\\ \text{m} (menor que 30), então precisamos aumentar Q_3.
  • Teste Q_3=0{,}04\\ \text{m}^3/\text{s}: dá soma de perdas cerca de 69{,}2\\ \text{m} (maior que 30): logo solução está entre 0{,}03 e 0{,}04.
  • Refinando (interpolando/avaliando): com Q_3=0{,}032 obtém-se perda total cerca de 31{,}32\\ \text{m} (ligeiramente maior que 30); com Q_3=0{,}031 obtém-se 27{,}13\\ \text{m} (ligeiramente menor). Entre esses valores, com testes finos encontra-se a solução aproximada:
Q_3 \approx 0{,}03168\\ \text{m}^3/\text{s}.
A partir daí, Q_2 pela relação do Passo 6:
Q_2 \approx \sqrt{6{,}305\cdot(0{,}03168)^2 - 0{,}003626}\approx 0{,}05197\\ \text{m}^3/\text{s}.
E Q_1=Q_2+Q_3:
Q_1 \approx 0{,}05197 + 0{,}03168 = 0{,}08365\\ \text{m}^3/\text{s}.
Comentário sobre método: aqui usei tentativa refinada (equivalente a solução numérica por iteração simples). Em prova, se não for exigido método exato, essa técnica de estreitar intervalo por testes e interpolação é aceitável para obter 2–3 casas decimais. Também poderia usar métodos numéricos formais (Newton, bisseção) com a mesma função.

Passo 8

Verificação rápida (colocar de volta nas equações de energia):
  • Para A\to B: calcular k_1 Q_1^2 + k_2 Q_2^2:
k_1 Q_1^2 \approx 1088{,}5\cdot(0{,}08365)^2 \approx 7{,}59\\ \text{m},
k_2 Q_2^2 \approx 8272{,}7\cdot(0{,}05197)^2 \approx 22{,}41\\ \text{m},
soma \approx 30{,}00\\ \text{m} (confere com h_A-h_B=30\\ \text{m}).
  • Para A\to C: calcular k_1 Q_1^2 + k_3 Q_3^2:
k_3 Q_3^2 \approx 52179\cdot(0{,}03168)^2 \approx 52{,}41\\ \text{m},
somando com k_1 Q_1^2\approx 7{,}59 obtém-se \approx 60{,}00\\ \text{m} (confere com h_A-h_C=60\\ \text{m}).
Portanto os valores são coerentes e verificam tanto as equações de energia quanto a continuidade.

Passo 9

Interpretação final e conversão para unidades mais usuais (opcional): os resultados em \text{m}^3/\text{s} podem ser convertidos para \text{L}/\text{s} multiplicando por 1000:
Q_{AO}\approx 0{,}08365\\ \text{m}^3/\text{s}\approx 83{,}7\\ \text{L/s},
Q_{OB}\approx 0{,}05197\\ \text{m}^3/\text{s}\approx 52{,}0\\ \text{L/s},
Q_{OC}\approx 0{,}03168\\ \text{m}^3/\text{s}\approx 31{,}7\\ \text{L/s}.
Força final: você conseguiu! É normal dar trabalho esse sistema não-linear, mas a estratégia foi clara: escrever as equações de energia, usar Darcy–Weisbach para perdas (leva a Q^2), eliminar a parcela comum e resolver numericamente. Na prova, faça cálculos limpos como acima e justifique o método de resolução.

Resposta

Q_{AO}=0,08365\\ \text{m}^3/\text{s}
Q_{OB}=0,05197\\ \text{m}^3/\text{s}
Q_{OC}=0,03168\\ \text{m}^3/\text{s}

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