(3,0) Os reservatórios A , B e C possuem nível constante de 150,120 e 90 m , respectivamente. Um tubo de 300 mm e comprimen 1,6 \mathrm{~km} deixa o reservatório A e segue para um ponto O, onde a tubulação se divide: um tubo de 200 mm com 1,6 \mathrm{~km} comprimento sai de O para B e um tubo de 150 mm com 2,4 \mathrm{~km} de comprimento sai de O para C . Supondo f=0,020, calcule vazões nas tubulações.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (peguei todos os números do enunciado):
Níveis (cotas) dos reservatórios: h_A=150\\ \text{m}, h_B=120\\ \text{m}, h_C=90\\ \text{m}.
A gravidade: g=9{,}81\\ \text{m/s}^2 (valor padrão).
O enunciado pede: calcular as vazões nas tubulações (isto é, as vazões Q_{AO} na tubulação de A para O, Q_{OB} de O para B e Q_{OC} de O para C).
Observações de leitura: como os reservatórios têm superfície livre a nível constante, podemos aplicar a equação de energia entre superfícies livres dos reservatórios A, B e C e as perdas de carga nas tubulações. Além disso vale a conservação de vazão no nó O: Q_{AO}=Q_{OB}+Q_{OC}.
Passo 2
Equações físicas que vou usar (explicando bem):
Equação de energia entre superfícies livres de dois reservatórios conectados por tubulação: a diferença de cotas é igual à soma das perdas de carga na linha que liga os reservatórios. Por exemplo, entre A e B:
h_A-h_B = h_{f,AO} + h_{f,OB}.
Isto porque a velocidade nas superfícies é desprezível e as pressões são atmosféricas em ambas; portanto a perda total é a queda de carga entre as superfícies. Mesma ideia para A e C:
h_A-h_C = h_{f,AO} + h_{f,OC}.
Perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach) numa tubulação circular:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy (dado), L comprimento da tubulação, D diâmetro, V velocidade média do escoamento e g a gravidade.
Relação entre vazão Q e velocidade média V:
V=\frac{Q}{A}, \qquad A=\frac{\pi D^2}{4},
onde A é a área da secção transversal.
Substituindo V=Q/A em Darcy–Weisbach obtemos uma dependência quadrática:
Breve comentário didático: esses k_i têm unidades tais que, quando multiplicados por Q^2 (com Q em \text{m}^3/\text{s}), dão perdas de carga em metros. Note como tubos menores (menor A e maior L/D) geram k muito maiores: pequena vazão numa tubulação fina já produz perdas grandes.
Passo 5
Escrevendo as equações de energia com os k:
Diferenças de cotas:
onde Q_1\equiv Q_{AO}, Q_2\equiv Q_{OB}, Q_3\equiv Q_{OC}.
Explicando: em cada equação a primeira parcela k_1 Q_1^2 é a perda no trecho A\to O, comum às duas rotas A→B e A→C; as outras parcelas são as perdas nos ramos O→B e O→C.
Passo 6
Eliminar k_1 Q_1^2 subtraindo as duas equações (essa é uma técnica útil para reduzir incógnitas):
(60)-(30) \Rightarrow 30 = k_3 Q_3^2 - k_2 Q_2^2.
Logo
k_3 Q_3^2 - k_2 Q_2^2 = 30.
Isto dá uma relação entre Q_2 e Q_3. Rearranjando:
Q_2^2 = \frac{k_3}{k_2}Q_3^2 - \frac{30}{k_2}.
Com os k calculados:
Q_2^2 \approx 6{,}305\;Q_3^2 - 0{,}003626.
Note que, por ser Q_2^2 não-negativo, isso já impõe um limite mínimo para Q_3.
Passo 7
Agora substituo Q_1=Q_2+Q_3 na primeira equação para obter uma equação numa incógnita (por exemplo Q_3). A primeira equação é
30 = k_1(Q_2+Q_3)^2 + k_2 Q_2^2.
Substituindo Q_2^2 em função de Q_3^2 (e usando Q_2=\sqrt{Q_2^2}, coluna positiva pois as vazões são positivas) obtém-se uma equação cuja solução é numérica. Vou resolver numericamente de forma simples e prática (método por tentativa e aproximação): testar valores de Q_3, calcular Q_2 pela relação do Passo 6 e verificar a igualdade da equação de energia.
Vou mostrar as iterações principais (mastigadas para entender como convergir):
Teste rápido para ver intervalo viável: exigir Q_2^2\ge 0 dá Q_3\gtrsim\sqrt{0{,}003626/6{,}305}\approx 0{,}02398\\ \text{m}^3/\text{s}. Então Q_3 é maior que cerca de 0{,}024.
Teste Q_3=0{,}03\\ \text{m}^3/\text{s}: então Q_2\approx\sqrt{0{,}002049}=0{,}0453, Q_1=0{,}0753. Avaliando k_1 Q_1^2+k_2 Q_2^2 obtém-se cerca de 23{,}12\\ \text{m} (menor que 30), então precisamos aumentar Q_3.
Teste Q_3=0{,}04\\ \text{m}^3/\text{s}: dá soma de perdas cerca de 69{,}2\\ \text{m} (maior que 30): logo solução está entre 0{,}03 e 0{,}04.
Refinando (interpolando/avaliando): com Q_3=0{,}032 obtém-se perda total cerca de 31{,}32\\ \text{m} (ligeiramente maior que 30); com Q_3=0{,}031 obtém-se 27{,}13\\ \text{m} (ligeiramente menor). Entre esses valores, com testes finos encontra-se a solução aproximada:
Comentário sobre método: aqui usei tentativa refinada (equivalente a solução numérica por iteração simples). Em prova, se não for exigido método exato, essa técnica de estreitar intervalo por testes e interpolação é aceitável para obter 2–3 casas decimais. Também poderia usar métodos numéricos formais (Newton, bisseção) com a mesma função.
Passo 8
Verificação rápida (colocar de volta nas equações de energia):
somando com k_1 Q_1^2\approx 7{,}59 obtém-se \approx 60{,}00\\ \text{m} (confere com h_A-h_C=60\\ \text{m}).
Portanto os valores são coerentes e verificam tanto as equações de energia quanto a continuidade.
Passo 9
Interpretação final e conversão para unidades mais usuais (opcional): os resultados em \text{m}^3/\text{s} podem ser convertidos para \text{L}/\text{s} multiplicando por 1000:
Força final: você conseguiu! É normal dar trabalho esse sistema não-linear, mas a estratégia foi clara: escrever as equações de energia, usar Darcy–Weisbach para perdas (leva a Q^2), eliminar a parcela comum e resolver numericamente. Na prova, faça cálculos limpos como acima e justifique o método de resolução.