Questão 13 | Ainda não respondida vale 7 ponto(s). 口Marcar questão
A função
é conhecida nos pontos
pela tabela:
0.0
0.25
0.5
0.75
1.0
1.000
1.01
1.002
0.878
0.673
com valores da função corretamente arredondados. Use o método dos trapézios para calcular uma aproximação da integral
usando o passo
. Estime o erro no resultado.
□
□
|
|
0.0 | 0.25 | 0.5 | 0.75 | 1.0 |
|
|
1.000 | 1.01 | 1.002 | 0.878 | 0.673 |
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumo claro):
- Valores de
conhecidos nos pontos : -
- Passo pedido: usar o método dos trapézios composto com passo
para aproximar e estimar o erro da aproximação. - Observação importante dada: os valores da tabela estão corretamente arredondados (cada valor tem incerteza até metade da unidade do último dígito mostrado). Vamos usar isso para estimar a incerteza propagada na quadratura.
Passo 2
Fórmula do trapézio composto (explicação didática)
- Se dividimos
em subintervalos iguais de tamanho , a regra do trapézio composta é
- Aqui
, , e . A fórmula soma os extremos com peso 1 e os pontos internos com peso 2 — isso corresponde a aproximar cada subintervalo por um trapézio e somar as áreas.
Cálculo numérico de
- Soma dos pontos internos:
- Portanto a combinação inteira é
- Multiplicando por
:
Portanto a aproximação pelo trapézio composta é
.
Passo 3
Estimativa do erro devido ao arredondamento dos valores de
(propagação do erro nos dados)
- Cada valor da tabela foi mostrado com certas casas decimais; o erro máximo de arredondamento é metade da unidade do último dígito:
- Para
(3 casas decimais): erro . - Para
(2 casas decimais): erro . - Para
(3 casas): erro . - Para
(3 casas): erro . - Para
(3 casas): erro .
- Para
- A aproximação
é linear nas . Portanto a contribuição máxima do erro de arredondamento à integral é, em valor absoluto,
onde
é a incerteza em
.
- Substituindo os máximos:
- Calculando a soma interna:
- Logo
Interpretação: apenas pelo arredondamento dos dados a aproximação
pode variar até cerca de
.
Passo 4
Fórmula de erro truncamento do trapézio composto (aula curta)
- A expressão de erro (truncamento) para a regra dos trapézios composta pode ser estimada por
- Nesta fórmula:
-
é o comprimento do intervalo de integração (aqui ), -
é o passo (aqui ), -
é o maior valor absoluto da segunda derivada de no intervalo — mede a curvatura que determina o erro da aproximação por trapézios.
-
- Precisamos estimar
a partir dos valores tabulados. Usamos diferenças finitas para isso.
Passo 5
Estimativa de
por diferenças centrais (explicação e cálculo)
- Fórmula discreta aproximada para segunda derivada em pontos internos, com passo
:
- Aqui
, então . - Calcular para os pontos internos
, , .
Para
:
Para
:
Para
:
- Os valores absolutos são
. Assim uma estimativa razoável para é (valor máximo aproximado obtido).
Passo 6
Estimar o erro truncamento usando a estimativa de
- Substituindo na fórmula do erro:
- Como
e , temos
- Arredondando:
(erro de truncamento devido à curvatura).
Passo 7
Combinar erros (truncamento + arredondamento dos dados) para uma estimativa prática
- Os dois erros são independentes (um vem da fórmula numérica, outro da incerteza nos dados). Para uma estimativa conservadora do erro total põe-se os limites somados:
- Substituindo os valores:
- Arredondando de forma prática:
(ou, se preferir uma margem mais simples, ).
Passo 8
Interpretação final e incentivo rápido
- A aproximação numérica que obtivemos é
. - O erro devido apenas ao truncamento do método (usando a estimativa de
por diferenças finitas) é cerca de . - Incluindo a incerteza de arredondamento dos valores tabelados, um limite conservador para o erro total é cerca de
. - Você já tem o valor aproximado e uma estimativa segura do erro — bom trabalho! Se quiser, da próxima vez a gente pode ver uma estimativa mais refinada de
(por exemplo ajustando um polinômio) para diminuir a margem do erro truncamento.