Questão 13 | Ainda não respondida vale 7 ponto(s). 口Marcar questão
A função f(x) é conhecida nos pontos \left\{x_{k}\right\} pela tabela:
x 0.0 0.25 0.5 0.75 1.0
f(x) 1.000 1.01 1.002 0.878 0.673
com valores da função corretamente arredondados. Use o método dos trapézios para calcular uma aproximação da integral
I=\int_{0}^{1} f(x) d x
usando o passo h=0.25. Estime o erro no resultado.
I_{T}=
\left|R_{T}\right| \leq

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumo claro):
  • Valores de f(x) conhecidos nos pontos \{x_k\}:
    • x_0=0{,}0,\\ f(x_0)=1{,}000
    • x_1=0{,}25,\\ f(x_1)=1{,}01
    • x_2=0{,}5,\\ f(x_2)=1{,}002
    • x_3=0{,}75,\\ f(x_3)=0{,}878
    • x_4=1{,}0,\\ f(x_4)=0{,}673
  • Passo pedido: usar o método dos trapézios composto com passo h=0{,}25 para aproximar I=\int_{0}^{1} f(x)\,dx,e estimar o erro da aproximação.
  • Observação importante dada: os valores da tabela estão corretamente arredondados (cada valor tem incerteza até metade da unidade do último dígito mostrado). Vamos usar isso para estimar a incerteza propagada na quadratura.

Passo 2

Fórmula do trapézio composto (explicação didática)
  • Se dividimos [a,b] em n subintervalos iguais de tamanho h=\dfrac{b-a}{n}, a regra do trapézio composta é
I_T=\frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k)+f(x_n)\Big).
  • Aqui a=0, b=1, n=4 e h=0{,}25. A fórmula soma os extremos com peso 1 e os pontos internos com peso 2 — isso corresponde a aproximar cada subintervalo por um trapézio e somar as áreas.
Cálculo numérico de I_T
  • Soma dos pontos internos:
f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)=1{,}01+1{,}002+0{,}878=2{,}890.
  • Portanto a combinação inteira é
f(x_0)+2\sum_{k=1}^{3}f(x_k)+f(x_4)=1{,}000+2(2{,}890)+0{,}673=1{,}000+5{,}780+0{,}673=7{,}453.
  • Multiplicando por h/2=0{,}25/2=0{,}125:
I_T=0{,}125\times 7{,}453=0{,}931625.
Portanto a aproximação pelo trapézio composta é I_T=0{,}931625.

Passo 3

Estimativa do erro devido ao arredondamento dos valores de f (propagação do erro nos dados)
  • Cada valor da tabela foi mostrado com certas casas decimais; o erro máximo de arredondamento é metade da unidade do último dígito:
    • Para f(x_0)=1{,}000 (3 casas decimais): erro \le 0{,}0005.
    • Para f(x_1)=1{,}01 (2 casas decimais): erro \le 0{,}005.
    • Para f(x_2)=1{,}002 (3 casas): erro \le 0{,}0005.
    • Para f(x_3)=0{,}878 (3 casas): erro \le 0{,}0005.
    • Para f(x_4)=0{,}673 (3 casas): erro \le 0{,}0005.
  • A aproximação I_T é linear nas f(x_k). Portanto a contribuição máxima do erro de arredondamento à integral é, em valor absoluto,
\Delta_{ar} \le \frac{h}{2}\Big(|\delta_0|+2(|\delta_1|+|\delta_2|+|\delta_3|)+|\delta_4|\Big),
onde |\delta_k| é a incerteza em f(x_k).
  • Substituindo os máximos:
\Delta_{ar} \le 0{,}125\big(0{,}0005+2(0{,}005+0{,}0005+0{,}0005)+0{,}0005\big).
  • Calculando a soma interna:
0{,}0005+2(0{,}006)+0{,}0005=0{,}0005+0{,}012+0{,}0005=0{,}013.
  • Logo
\Delta_{ar} \le 0{,}125\times 0{,}013=0{,}001625.
Interpretação: apenas pelo arredondamento dos dados a aproximação I_T pode variar até cerca de 0{,}001625.

Passo 4

Fórmula de erro truncamento do trapézio composto (aula curta)
  • A expressão de erro (truncamento) para a regra dos trapézios composta pode ser estimada por
|R_T|\le \frac{(b-a)h^2}{12}\max_{[a,b]}|f''(x)|.
  • Nesta fórmula:
    • b-a é o comprimento do intervalo de integração (aqui 1),
    • h é o passo (aqui 0{,}25),
    • \max_{[a,b]}|f''(x)| é o maior valor absoluto da segunda derivada de f no intervalo — mede a curvatura que determina o erro da aproximação por trapézios.
  • Precisamos estimar \max|f''(x)| a partir dos valores tabulados. Usamos diferenças finitas para isso.

Passo 5

Estimativa de f''(x) por diferenças centrais (explicação e cálculo)
  • Fórmula discreta aproximada para segunda derivada em pontos internos, com passo h:
f''(x_k)\approx \frac{f(x_{k+1})-2f(x_k)+f(x_{k-1})}{h^2}.
  • Aqui h=0{,}25, então h^2=0{,}0625.
  • Calcular para os pontos internos x_1=0{,}25, x_2=0{,}5, x_3=0{,}75.
Para x_1:
f''(0{,}25)\approx\frac{f(x_2)-2f(x_1)+f(x_0)}{h^2} =\frac{1{,}002-2(1{,}01)+1{,}000}{0{,}0625} =\frac{-0{,}018}{0{,}0625}=-0{,}288.
Para x_2:
f''(0{,}5)\approx\frac{f(x_3)-2f(x_2)+f(x_1)}{0{,}0625} =\frac{0{,}878-2(1{,}002)+1{,}01}{0{,}0625} =\frac{-0{,}116}{0{,}0625}=-1{,}856.
Para x_3:
f''(0{,}75)\approx\frac{f(x_4)-2f(x_3)+f(x_2)}{0{,}0625} =\frac{0{,}673-2(0{,}878)+1{,}002}{0{,}0625} =\frac{-0{,}081}{0{,}0625}=-1{,}296.
  • Os valores absolutos são 0{,}288,\\\ 1{,}856,\\\ 1{,}296. Assim uma estimativa razoável para \max_{[0,1]}|f''(x)| é 1{,}856 (valor máximo aproximado obtido).

Passo 6

Estimar o erro truncamento usando a estimativa de f''
  • Substituindo na fórmula do erro:
|R_T|\le \frac{(b-a)h^2}{12}\max|f''(x)|=\frac{1\cdot (0{,}25)^2}{12}\times 1{,}856.
  • Como (0{,}25)^2=0{,}0625 e \dfrac{0{,}0625}{12}=\dfrac{1}{192}, temos
|R_T|\le \frac{1{,}856}{192}=\frac{29}{3000}\approx 0{,}009666\ldots
  • Arredondando: |R_T|\le 0{,}00967 (erro de truncamento devido à curvatura).

Passo 7

Combinar erros (truncamento + arredondamento dos dados) para uma estimativa prática
  • Os dois erros são independentes (um vem da fórmula numérica, outro da incerteza nos dados). Para uma estimativa conservadora do erro total põe-se os limites somados:
\text{erro total máximo} \le |R_T|_{\text{trunc}} + \Delta_{ar}.á
  • Substituindo os valores:
\text{erro total} \le 0{,}009666\ldots + 0{,}001625 = 0{,}011291\ldots
  • Arredondando de forma prática: \approx 0{,}01129 (ou, se preferir uma margem mais simples, 0{,}0113).

Passo 8

Interpretação final e incentivo rápido
  • A aproximação numérica que obtivemos é I_T=0{,}931625.
  • O erro devido apenas ao truncamento do método (usando a estimativa de f'' por diferenças finitas) é cerca de 0{,}00967.
  • Incluindo a incerteza de arredondamento dos valores tabelados, um limite conservador para o erro total é cerca de 0{,}01129.
  • Você já tem o valor aproximado e uma estimativa segura do erro — bom trabalho! Se quiser, da próxima vez a gente pode ver uma estimativa mais refinada de f'' (por exemplo ajustando um polinômio) para diminuir a margem do erro truncamento.

Resposta

I_{T}=0{,}931625
\left|R_{T}\right|\le 0{,}01129

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