Exemplo: Seja f(x)=x^{2}+x-6. Dado x_{0}=1.5 e x_{1}=1.7, aplique o Método da Secante para obter uma aproximação para a raiz de f(x)=0, com erro relativo <0.003.

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o Método da Secante para aproximar a raiz de f(x)=x^{2}+x-6 usando x_{0}=1,5 e x_{1}=1,7, até que o erro relativo da aproximação seja menor que 0,003.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}+x-6.
  • Palpite inicial x_{0}=1,5.
  • Palpite inicial x_{1}=1,7.
  • Critério de parada: erro relativo <0,003.
O que devo entregar: uma aproximação da raiz (valor de x) obtida pelo Método da Secante que satisfaça a condição de erro relativo.

Passo 2

O que é o Método da Secante e a fórmula que vamos usar.
  • Ideia rápida (sem jargão): o método usa dois pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)) e interpola por uma reta entre eles; a interseção dessa reta com o eixo x é a próxima aproximação x_{n+1}. Repetimos até o critério de erro ser satisfeito.
  • Fórmula do método da secante:
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Explicando cada termo:
  • x_{n-1}, x_n são as duas últimas aproximações conhecidas;
  • f(x_{n-1}), f(x_n) são os valores da função nesses pontos;
  • o quociente \dfrac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} é a inclinação invertida da reta secante (ajusta a correção).
  • Critério de erro relativo que vamos usar (muito comum na prática):
\text{erro relativo} = \frac{|x_{n+1}-x_n|}{|x_{n+1}|}.
Vamos parar quando essa quantidade for <0,003 (i.e. menos que 0{,}3\%).

Passo 3

Calcular f em x_{0} e x_{1}.
  • x_{0}=1,5. Então
f(x_{0}) = (1,5)^{2} + 1,5 - 6 = 2,25 + 1,5 - 6 = -2,25.
(para manter exatidão: f(x_{0})=-\dfrac{9}{4}.)
  • x_{1}=1,7. Então
f(x_{1}) = (1,7)^{2} + 1,7 - 6 = 2,89 + 1,7 - 6 = -1,41.
(para manter exatidão: f(x_{1})=-\dfrac{141}{100}.)
Regra prática: já que f(x_{0}) e f(x_{1}) têm sinais iguais (ambos negativos), isso não atrapalha o método da secante — ele ainda converge aqui para a raiz positiva.

Passo 4

Primeira iteração: calcular x_{2} com a fórmula da secante (cálculo detalhado e exato em frações).
Usando a fórmula com n=1:
x_{2} = x_{1} - f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}.
Substituindo valores (em frações para exatidão):
x_{0}=\tfrac{3}{2},\quad x_{1}=\tfrac{17}{10},\quad f(x_{0})=-\tfrac{9}{4},\quad f(x_{1})=-\tfrac{141}{100}.
Calcular x_{1}-x_{0}=\tfrac{17}{10}-\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{5}.
O numerador da correção:
f(x_{1})(x_{1}-x_{0}) = -\tfrac{141}{100}\cdot \tfrac{1}{5} = -\tfrac{141}{500}.
O denominador:
f(x_{1})-f(x_{0}) = -\tfrac{141}{100} - \left(-\tfrac{9}{4}\right) = -\tfrac{141}{100} + \tfrac{9}{4} = \tfrac{21}{25}.
Logo a correção é
\frac{f(x_{1})(x_{1}-x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})} = \frac{-\tfrac{141}{500}}{\tfrac{21}{25}} = -\tfrac{47}{140}.
Portanto
x_{2} = \tfrac{17}{10} - \left(-\tfrac{47}{140}\right) = \tfrac{17}{10} + \tfrac{47}{140} = \tfrac{57}{28}.
Em decimal,
x_{2} = \tfrac{57}{28} \approx 2,0357142857.

Passo 5

Calcular f(x_{2}) (usar fração exata e também decimal).
f\!\left(\tfrac{57}{28}\right) = \left(\tfrac{57}{28}\right)^{2} + \tfrac{57}{28} - 6 = \frac{3249}{784} + \frac{1596}{784} - \frac{4704}{784} = \frac{141}{784}.
Em decimal,
f(x_{2}) = \frac{141}{784} \approx 0,1798469388.

Passo 6

Segunda iteração: calcular x_{3} usando x_{1} e x_{2} (apresento cálculo em decimal com atenção às etapas).
Fórmula:
x_{3} = x_{2} - f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Valores conhecidos:
x_{1}=1,7,\quad x_{2}\approx 2,0357142857,\quad f(x_{1})=-1,41,\quad f(x_{2})\approx 0,1798469388.
Calcular diferenças:
x_{2}-x_{1} \approx 2,0357142857 - 1,7 = 0,3357142857.
Denominador:
f(x_{2})-f(x_{1}) \approx 0,1798469388 - (-1,41) = 1,5898469388.
Numerador da correção:
f(x_{2})(x_{2}-x_{1}) \approx 0,1798469388 \times 0,3357142857 \approx 0,060379.
Correção inteira:
\frac{0,060379}{1,5898469388} \approx 0,037985.
Logo
x_{3} \approx 2,0357142857 - 0,037985 \approx 1,9977293.
(Obs.: o cálculo também pode ser feito exatamente em frações, mas o decimal acima é suficiente e controlado.)

Passo 7

Calcular f(x_{3}) e avaliar o erro relativo entre x_{3} e x_{2}.
  • Avaliar f(x_{3}):
f(1,9977293) \approx (1,9977293)^{2} + 1,9977293 - 6 \approx -0,0113483.
(é pequeno e negativo, indicando que já estamos muito perto da raiz positiva que é 2.)
  • Erro relativo provisório entre x_{3} e x_{2}:
\frac{|x_{3}-x_{2}|}{|x_{3}|} = \frac{|1,9977293-2,0357142857|}{1,9977293} \approx \frac{0,037985}{1,9977293} \approx 0,0190,
ou seja 1{,}90\%, ainda maior que 0{,}3\%. Então precisamos de mais uma iteração.

Passo 8

Terceira iteração: calcular x_{4} usando x_{2} e x_{3}.
Fórmula:
x_{4} = x_{3} - f(x_{3})\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}.
Valores aproximados:
x_{2}\approx 2,0357142857,\quad x_{3}\approx 1,9977293,
f(x_{2})\approx 0,1798469388,\quad f(x_{3})\approx -0,0113483.
Calcular diferenças:
x_{3}-x_{2} \approx 1,9977293 - 2,0357142857 = -0,0379849857.
Numerador da correção:
f(x_{3})(x_{3}-x_{2}) \approx (-0,0113483)\times(-0,0379849857)\approx 0,0004318.
Denominador:
f(x_{3})-f(x_{2}) \approx -0,0113483 - 0,1798469388 \approx -0,1911952388.
Correção inteira:
\frac{0,0004318}{-0,1911952388} \approx -0,002258.
Portanto
x_{4} \approx 1,9977293 - (-0,002258) \approx 1,9999873.

Passo 9

Verificar o critério de parada com x_{4}.
Erro relativo entre x_{4} e x_{3}:
\frac{|x_{4}-x_{3}|}{|x_{4}|} = \frac{|1,9999873 - 1,9977293|}{1,9999873} \approx \frac{0,002258}{1,9999873} \approx 0,001129.
Como 0{,}001129 < 0{,}003, o critério pedido (erro relativo menor que 0{,}003) foi satisfeito. Podemos parar.
Observação final: a raiz exata positiva da quadrática é 2. O método da secante convergiu para um valor muito próximo de 2 em três iterações (chegando a 1{,}9999873), o que é esperado dado o comportamento da função quadrática.

Resposta

x \approx 1,9999873

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