Exemplo: Seja
. Dado
e
, aplique o Método da Secante para obter uma aproximação para a raiz de
, com erro relativo
.
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o Método da Secante para aproximar a raiz de
usando
e
, até que o erro relativo da aproximação seja menor que
.
Informações dadas:
- A função é
. - Palpite inicial
. - Palpite inicial
. - Critério de parada: erro relativo
.
O que devo entregar: uma aproximação da raiz (valor de
) obtida pelo Método da Secante que satisfaça a condição de erro relativo.
Passo 2
O que é o Método da Secante e a fórmula que vamos usar.
-
Ideia rápida (sem jargão): o método usa dois pontos
e e interpola por uma reta entre eles; a interseção dessa reta com o eixo é a próxima aproximação . Repetimos até o critério de erro ser satisfeito. -
Fórmula do método da secante:
Explicando cada termo:
-
são as duas últimas aproximações conhecidas; -
são os valores da função nesses pontos; -
o quociente
é a inclinação invertida da reta secante (ajusta a correção). -
Critério de erro relativo que vamos usar (muito comum na prática):
Vamos parar quando essa quantidade for
(i.e. menos que
).
Passo 3
Calcular
em
e
.
-
. Então
(para manter exatidão:
.)
-
. Então
(para manter exatidão:
.)
Regra prática: já que
e
têm sinais iguais (ambos negativos), isso não atrapalha o método da secante — ele ainda converge aqui para a raiz positiva.
Passo 4
Primeira iteração: calcular
com a fórmula da secante (cálculo detalhado e exato em frações).
Usando a fórmula com
:
Substituindo valores (em frações para exatidão):
Calcular
.
O numerador da correção:
O denominador:
Logo a correção é
Portanto
Em decimal,
Passo 5
Calcular
(usar fração exata e também decimal).
Em decimal,
Passo 6
Segunda iteração: calcular
usando
e
(apresento cálculo em decimal com atenção às etapas).
Fórmula:
Valores conhecidos:
Calcular diferenças:
Denominador:
Numerador da correção:
Correção inteira:
Logo
(Obs.: o cálculo também pode ser feito exatamente em frações, mas o decimal acima é suficiente e controlado.)
Passo 7
Calcular
e avaliar o erro relativo entre
e
.
- Avaliar
:
(é pequeno e negativo, indicando que já estamos muito perto da raiz positiva que é
.)
- Erro relativo provisório entre
e :
ou seja
, ainda maior que
. Então precisamos de mais uma iteração.
Passo 8
Terceira iteração: calcular
usando
e
.
Fórmula:
Valores aproximados:
Calcular diferenças:
Numerador da correção:
Denominador:
Correção inteira:
Portanto
Passo 9
Verificar o critério de parada com
.
Erro relativo entre
e
:
Como
, o critério pedido (erro relativo menor que
) foi satisfeito. Podemos parar.
Observação final: a raiz exata positiva da quadrática é
. O método da secante convergiu para um valor muito próximo de
em três iterações (chegando a
), o que é esperado dado o comportamento da função quadrática.