Questão 13: Bombeiros estão segurando um bocal na extremidade de uma mangueira para extinguir um incêndio. Se o diâmetro de saída do bocal é 8 cm e a vazão volumétrica de água é 12 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}, determine: (a) a velocidade média de saída da água; (b) a força horizontal de reação que os bombeiros devem exercer para manter o bocal em posição.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte e pede duas coisas claras:
Dados fornecidos:
\text{diâmetro do bocal } d=8\\ \text{cm}=0{,}08\\ \text{m},â
\text{vazão volumétrica } Q=12\\ \mathrm{m^3/min}.ãé
Vou também usar a densidade da água como
\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}
(essa é uma hipótese padrão para água a temperatura ambiente).
Perguntas:
(a) Determinar a velocidade média de saída da água;
(b) Determinar a força horizontal de reação que os bombeiros devem exercer para manter o bocal em posição.

Passo 2

Converter a vazão para unidades compatíveis (SI): \,1\\ \text{min}=60\\ \text{s}, então
Q=\frac{12\\ \mathrm{m^3}}{1\\ \text{min}}=\frac{12}{60}\\ \mathrm{m^3/s}=0{,}2\\ \mathrm{m^3/s}.
Calcular a área da seção circular do bocal. O raio é
r=\frac{d}{2}=\frac{0{,}08}{2}=0{,}04\\ \text{m}.
A área é
A=\pi r^2=\pi(0{,}04)^2=\pi\cdot 0{,}0016=\;0{,}005026548\ldots\\ \mathrm{m^2}.
(Deixo o valor com várias casas para evitar arredondamento prematuro.)

Passo 3

Explicar a relação usada para a velocidade: a vazão volumétrica é o produto da área pela velocidade média do fluido:
Q=A\,v.
Aqui Q é a vazão volumétrica (em \mathrm{m^3/s}), A é a área da seção ( \mathrm{m^2}) e v é a velocidade média na saída ( \mathrm{m/s}). Assim
v=\frac{Q}{A}.
Substituindo os valores:
v=\frac{0{,}2}{0{,}005026548\ldots}\approx 39{,}7887\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma prática para a prova:
v\approx 39{,}8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora a força de reação: fisicamente, quando a água é ejetada com velocidade v para a frente, para manter o bocal parado é preciso aplicar uma força igual ao fluxo de momento linear que sai. A taxa de massa que sai é
\dot{m}=\rho\,Q,
onde \dot{m} é a massa por unidade de tempo (em \mathrm{kg/s}). Então a força horizontal de reação F (módulo) é, assumindo que a água sai horizontalmente e que sua velocidade final relativa ao ambiente é v,
F=\dot{m}\,v=\rho\,Q\,v.
Calculemos \dot{m}:
\dot{m}=\rho Q=1000\cdot 0{,}2=200\\ \mathrm{kg/s}.
Então
F=\dot{m}\,v=200\cdot 39{,}7887\approx 7957{,}7\\ \mathrm{N}.
Em quilonewtons:
F\approx 7{,}96\\ \mathrm{kN}.
(A direção da força que os bombeiros devem aplicar é horizontal, em sentido oposto ao jato de água.)

Resposta

(a) v\approx 39{,}8\\ \mathrm{m/s}
(b) F\approx 7{,}96\\ \mathrm{kN}

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