Questão 24: *Em uma usina hidrelétrica, a água escoa de uma elevação de 122 m até uma turbina, onde a energia elétrica é gerada. Para uma eficiência global turbina-gerador de 85 \%, determine a vazão mínima necessária para gerar 100 kW de eletricidade.

Passo 1

O que o exercício pede: determinar a vazão mínima necessária para gerar 100\\ \text{kW} de eletricidade numa usina onde a água cai 122\\ \text{m} e a eficiência global turbina–gerador é 85\%.
Dados fornecidos (listados claramente):
h = 122\\ \mathrm{m}
P_{\text{el}} = 100\\ \text{kW} = 100\,000\\ \mathrm{W}
\eta = 85\% = 0,85
Dados que usamos por convenção física (valores típicos):
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}\quad\text{(densidade da água)}á
g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2}\quad\text{(aceleração da gravidade)}çã

Passo 2

Qual fórmula relaciona vazão, queda e potência? Vamos entender a física por trás, devagarinho.
  • Energia potencial por unidade de massa para uma queda de altura h é g\,h. Isso vem da energia potencial gravitacional E=mgh; dividindo por m g h em \mathrm{J/kg}.
  • A vazão volumétrica Q ( \mathrm{m^3/s}) multiplicada pela densidade \rho dá a massa que passa por segundo:
\dot{m} = \rho\,Q\quad\text{(unidade: }\mathrm{kg/s}\text{)}.
  • A potência mecânica disponível na água (antes de perdas) é massa por segundo vezes g h:
P_{\text{mec}} = \dot{m}\,g\,h = \rho\,Q\,g\,h.
  • A usina não converte tudo em eletricidade; aplica-se a eficiência \eta. Assim a potência elétrica gerada é
P_{\text{el}} = \eta\,\rho\,Q\,g\,h.
Explicando cada símbolo (pra não ter dúvida na prova):
  • \;P_{\text{el}}: potência elétrica desejada (W).
  • \;\eta: eficiência (adimensional, entre 0 e 1).
  • \;\rho: densidade da água ( \mathrm{kg/m^3}).
  • \;Q: vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}) — é o que queremos achar.
  • \;g: aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}).
  • \;h: altura de queda ( \mathrm{m}).
Unidades: \rho ( \mathrm{kg/m^3}) vezes Q ( \mathrm{m^3/s}) dá \mathrm{kg/s}. Multiplicando por g ( \mathrm{m/s^2}) e por h ( \mathrm{m}) resulta em \mathrm{kg\cdot m^2/s^3}=\mathrm{W}. Ou seja, a fórmula é dimensionalmente consistente — bom sinal.

Passo 3

Isolando a vazão Q da fórmula:
P_{\text{el}} = \eta\,\rho\,Q\,g\,h
\Rightarrow Q = \frac{P_{\text{el}}}{\eta\,\rho\,g\,h}.
Isso é só álgebra simples: dividimos ambos os lados por \eta\rho g h.

Passo 4

Agora vamos calcular passo a passo, mostrando as contas para você reproduzir na prova sem erro.
  1. Potência elétrica:
P_{\text{el}} = 100\,000\\ \mathrm{W}.
  1. Calcular g\,h:
g\,h = 9{,}81 \times 122 = 1196{,}82\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  1. Multiplicar por \rho:
\rho\,g\,h = 1000 \times 1196{,}82 = 1\,196\,820\\ \mathrm{(kg\cdot m^2)/(s^3)}.
  1. Multiplicar por \eta:
\eta\,\rho\,g\,h = 0{,}85 \times 1\,196\,820 = 1\,017\,297\\ \mathrm{W\;per\;(m^3/s)}.
(Isto significa que cada 1\\ \mathrm{m^3/s} de água disponível geraria cerca de 1\,017\,297\\ \mathrm{W} considerando a eficiência.)
  1. Agora a vazão:
Q = \frac{100\,000}{1\,017\,297}\\ \mathrm{m^3/s} \approx 0{,}098285\\ \mathrm{m^3/s}.
  1. Para ficar mais intuitivo, convertemos para litros por segundo ( 1\\ \mathrm{m^3/s}=1000\\ \mathrm{L/s}):
Q \approx 0{,}098285 \times 1000 = 98{,}285\\ \mathrm{L/s}\approx 98{,}3\\ \mathrm{L/s}.
Observação didática rápida: se a eficiência fosse menor, a vazão necessária aumentaria (porque o denominador diminui). Se a queda h fosse maior, a vazão necessária diminuiria — é bom entender essa dependência para questões de engenharia rápidas na prova.

Resposta

\;Q_{\min}=0,0983\\ \mathrm{m^3/s}\approx98{,}3\\ \mathrm{L/s}

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